Calculer le volume d'un cône en sommes de Riemann (+ intégrale)

[invite0f7650eb]

Bonjour à tous,

Je bloque sur un problème de maths concernant le calcul du volume d'un cône "infini". J'ai fait beaucoup de recherches et trouvé pas mal de choses intéressantes sur Google, mais le plus important pour moi est de comprendre. C'est pourquoi j'aimerais avoir votre aide.

Je traduis le problème de l'Allemand (en plus court):
Nous avons un vase symétrique axial (l'axe x est l'axe de symétrie, voir figure en pièce jointe). La profondeur du vase va de x = 1 jusqu'à l'infini. Le rayon diminue suivant la fonction .

a) Pour calculer le volume du vase, on utilise une somme de disques de rayon r(x) et d'épaisseur infinitésimal dx. Montrer que cette somme mène à l'intégrale suivante lorsqu'elle tend vers l'infini:


Je pense plus ou moins visualiser la réponse, car le volume d'un disque est donné par la formule , ce qui dans mon cas devient . Maintenant ce que j'ai oublié (je viens de recommencer des études après 10 ans sans maths), c'est comment exprimer la somme des volumes de disque en sommes de Riemann? Ensuite, j'ai vu quelque part que quelqu'un arrivait à l'intégrale en utilisant une deuxième fonction - cela est-il nécessaire?

Merci d'avance de vos réponses.


J.
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[invite0f7650eb]

Pas d'idée?

[gg0]

Bonjour.

Il y a plusieurs façons de faire. par exemple utiliser la méthode à la physicienne que tu emploies. Ou appeler V(x) le volume du tronc de cône de 0 à x, et dériver V pour voir que ça donne la bonne valeur. Tu peux aussi avoir déjà vu en cours la formule de calcul d'un volume de révolution, l'appliquer à V(x). Dans les deux derniers cas, un passage à la limite donne le résultat.

Quant à savoir ce qui est nécessaire, seul toi le peux.