Bases de R^4

[invite0f7650eb]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice d'algèbre linéaire que j'arrive à résoudre, mais je suis curieux de savoir si il existe une façon plus simple de procéder (notre prof l'a brièvement mentionnée sans en dire plus). Voici l'exercice, traduit de l'Allemand:

Déterminer toutes les familles de vecteurs qui sont une base de parmi les suivants:



Déjà, je sais que le nombre de vecteurs d'une base doit être égal à 4, et je pense que toute famille contenant ne peut être une base. Il me reste donc 5 combinaisons possibles, que je pourrais tester individuellement en testant si les familles sont génératrices de et libres, mais je pense qu'il y a une équation qui pourrait me permettre de les déterminer toutes à la fois. Cependant, je n'arrive pas à voir laquelle.

Quelqu'un pourrait-il me donner un indice?


Merci d'avance pour vos réponses.


J.
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[gg0]

Bonjour.

Déjà, comme tu le dis, tu peux éliminer le dernier, le vecteur nul n'est jamais un élément d'une base : Une famille qui contient le vecteur nul est liée (prouve-le pour toi-même).
Ensuite, il te suffit, pour chaque quadruplet de vecteurs, de vérifier s'il est libre. Ça peut se faire assez vite si on connaît les usages des déterminants.

Cordialement.

[invite0f7650eb]

Ensuite, il te suffit, pour chaque quadruplet de vecteurs, de vérifier s'il est libre. Ça peut se faire assez vite si on connaît les usages des déterminants.

Bonjour, et merci beaucoup pour ta réponse. Comme dit précédemment, je cherche une autre méthode qui n'utiliserait qu'une seule équation.


J.

[inviteddfccc82]

Salut!
Tu peux utiliser la matrice de coordonnée de tes familles dans la base canonique de et vérifier le rang de celle-ci. La famille est une base ssi le rang de la matrice de passage est égal au nb de vecteurs, dans ce cas 4.
Du moins il me semble.. je n'ai pas mes cahiers avec moi

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

C'est la méthode que j'évoquais (avec les déterminants). Sans déterminants, ça revient à la méthode de Julienba.

Cordialement.