Lien entre l espérance et nombre de bijections

[Yamata1]

Soit o> 0 un réel. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre o.

On peut montrer que

E[X^n]=n!o^-n

( On intègre par parties en dérivant le monôme et en primitivant l’exponentielle)

Pour o=1 , E[X^n]=n! est le nombre de bijections d’un ensemble ayant n éléments
dans lui même.

Quel est le lien entre espérance d un produit de n variables aléatoires identiques de loi exponentielle et le nombre de bijections d un ensemble de n éléments dans lui meme ?

question compliquée mais qui m'interpelle . Merci de votre aide
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[gg0]

Pourquoi y aurait-il un lien ?

[Yamata1]

Je ne sais pas...On demandait une interprétation combinatoire de ce résultat dans un exercice ...

[invite9dc7b526]

Le lien ne me semble pas évident. La factorielle vient de la série de Taylor. La fonction génératrice des moments de la loi exponentielle de paramètre o est g(x)=o/(o-x). On la développe en série et on identifie chaque terme au terme de même ordre de la série de Taylor pour trouver les moments. Et les factorielles dans le développement de Taylor viennent des dérivées des fonctions puissance. Ce n'est sans-doute pas impossible de trouver une interprétation géométrique qui ferait intervenir les permutations d'un ensemble à n éléments, mais elle ne serait pas forcément naturelle.

[A voir en vidéo sur Futura]