Bonjour à tous
Je suis en maths spé, je réalise un TIPE à dominante physique, et j'ai un petit problème de mathématiques, qui concerne un domaine absent du programme de prépa : les probabilités.
Pour simplifier, on peut considérer une population de N individus ayant tous une espérance de vie de A années. J'aimerais simplement savoir combien d'individus sont morts au bout d'une année.
Merci d'avance
Bonjour,
La réponse est simple : tu ne peux pas le savoir.
Une espérance de vie est une durée de vie moyenne, elle ne peut pas permettre de retrouver les détails des durées de vie des individus.
C'est comme si tu demandais : dans une classe de N élèves, la moyenne des notes au dernier devoir est de A, combien d'élèves ont eu moins de 1 ?
ça dépend de la distribution de la durée de vie, pas juste de son espérance.
Mais tu parles de physique, pour les physiciens la seule loi de durée de vie possible est la loi exponentielle (c'est parce les physiciens aiment bien les équations différentielles et il vont écrire que si N(t) et la population au temps t, elle vérifie l'équation dN(t)/dt = -N(t)/A ). Si 1/A est le taux de mortalité, A est la durée de vie moyenne, et au bout d'un an sous l'hypothèse exponentielle sont morts N(0)(1-exp(-1/A)).
Salut, et merci de me répondre.
Vu comme ca, c'est vrai, mais mon exemple est mal adapté. En fait, il me faudrait répondre à la question : combien d'individus ont X ans.
Il ne me faut pas une réponse exacte bien sur, mais juste un ordre de grandeur. Clairement, si A vaut 70 ans, il y aura probablement plus d'individus de 20 ans que d'individus de 90 ans.
mehoul, oui c'est vrai qu'en physique on fait souvent cela, et je l'ai fait en premier modèle.
Sauf que ce modèle, on le fait par exemple pour la décroissance radioactive, où chaque noyau la même probabilité de se désintégrer, quelque soit son âge. Ici, les individus n'ont pas tous la même probabilité de mourir : si A vaut 70 ans, il est plus probable de mourir à 80 ans qu'à 10 ...
Absolument pas. Et déjà la phrase est ambiguë (parle-t-elle de la probabilité de l'âge de décès pour un individu qui naît, ou pour un individu qui a 80 ou 10 ans ?)Envoyé par RafikiNostalgy
Non plus. Mais là c'est plus compliqué. Ce serait vrai si la probabilité de décès à âge donnée était stable et si le nombre de naissances par an est stable. Si c'est variable dans le temps (ce qui est le cas en pratique !), on peut avoir des surprise.Clairement, si A vaut 70 ans, il y aura probablement plus d'individus de 20 ans que d'individus de 90 ans.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Non seulement l'espérance de vie (qui est usuellement calculée sur les stats du moment) ne donne quasiment aucune information là-dessus, mais les données nécessaires sont assez lourdes. En gros le nombre de naissances année par année, ainsi que les probabilité de décès conditionnellement à l'âge atteint, année par année.
Pour un modèle simple (nombre de naissances fixe, et probas conditionnelles de décès fixes) la connaissance du nombre d'individus par âge est identique à la connaissance desdites probas (les secondes sont la différentielle des premiers). L'espérance de vie à la naissance en années est d'ailleurs alors la somme des n(X) divisée par le nombre de naissances par an.
Dernière modification par Amanuensis ; 31/03/2012 à 20h09.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
En fait se ramener à une population d'individus ne fonctionne pas, donc je vais présenter le problème réel.
Je m’intéresse aux débris spatiaux en orbite terrestre basse, qui sont situés entre 500 et 1000 km. Ceux ci sont freinés par les résidus d'atmosphère terrestre, et les lois de la mécanique donnent qu'un débris situé à 1000km à la date t=0, va se retrouver à 500km au bout de A années. Moi je sais juste qu'entre ces deux altitudes, se situent N débris : je ne sais pas où chacun se trouve exactement, et donc depuis combien de temps chacun est ici. Et j'aimerais avoir un ordre de grandeur de combien de débris vont se retrouver à 500km au bout de 1 an.
J'espère avoir été plus précis
Pas très différent, faut les données du nombre de "naissances", c'est à dire du nombre de débris injectés de novo à chaque altitude pour toutes les années passées. Soit des données réelles, soit un modèle précis.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
bon justement, si c'est pour avoir un ordre de grandeur, la loi exponentielle peut suffire. A défaut, tu peux prendre la famille des lois Gamma. Elle a deux paramètres ce qui signifie que la connaissance de l'espérance n'est pas suffisante, mais tu peux faire des calculs (ou des simulations) avec une gamme de variances.
en démographie, étant donnés des taux de naissance et de mort, et une distribution de l'âge de reproduction, on peut en déduire une distribution des âges dans la population (la pyramide des âges) en général à base large si la population est en croissance et à base étroite si la population diminue. Dans ton problème, il te faut spécifier les distributions des entrées et des sorties, tu devrais regarder du côté des processus ponctuels (processus de naissance et de mort).
si tu veux faire intervenir le freinage par l'atmospère, qui va être une fonction de l'altitude, ça risque de devenir compliqué et dans ce cas la simulation est souvent la seule façon de s'en sortir.
Pour tes stat, saches que les HEC et BPCST qui sont aussi des "prépa" font des proba.... c'est sans doute assez formateur de comprendre un peu mieux les stats pour un citoyen
