rayon de convergence

**bruno1510** · 31/03/2012, 01h56

Bonjour, je dois étudier le rayon de convergence de la série entière de terme $\text{[math]}$ suivant celui de $\text{[math]}$ .
je note $\text{[math]}$ le rayon de convergence de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ celui de $\text{[math]}$

j'essaie d'appliquer le critère de d'Alembert:
Si $\text{[math]}$ ne s'annule pas:
$\text{[math]}$
et la je suis bloqué j'ai envie de supposé que R est positif strictement(pour l'instant...) et que $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ par d'Alembert mais le théorème me dit que si la limite de $\text{[math]}$ existe ALORS elle vaut 1/R mais si on suppose que R existe car je le suppose strictement positif rien ne prouve que la limite existe non? donc même si je connais R je peux pas dire que $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ puisque rien me dit que la limite existe?

**cleanmen** · 31/03/2012, 10h14

Salut,
il est peut-être plus facile de voir si (a_n/n!*r^n)_n est bornée ou nn.

**bruno1510** · 31/03/2012, 11h34

merci beaucoup pour la réponse.

je suppose que vous faite référence au lemme d'Abel mais je vois pas en quoi çà m'aider.
On va simplifier un peu le problème et dire que la série de terme $\text{[math]}$ a un rayon de convergence R fini mais non nul pour le moment:
$\text{[math]}$ est bornée pour tous |r| inférieur strictement à R car la limite $\text{[math]}$ tend vers 0 et n! tend vers l'infini donc par le lemme d'Abel la série de terme $\text{[math]}$ converge pour |z|<R. en faite on a même pas besoin du lemme d'Abel pour ça il suffit de dire que pour |z| strictement inférieur à R $\text{[math]}$ tend vers 0 en l'infini donc la série converge car c'est une série entière.
Mais pour z>R la suite $\text{[math]}$ peut tendre vers un nombre non nul fini et dans ce cas pas de problème mais elle peut aussi tendre vers l'infini et on ne peut plus dire quelle est bornée et la limite de $\text{[math]}$ donne un forme indéterminée?

**cleanmen** · 31/03/2012, 11h53

Dans ton raisonnement, tu perds énormement d'informations sur la suite (a_n/n!.r^n).

Avec un peu d'intuition, on a envie de montrer que le rayon de convergence de la serie de terme a_n/n!.r^n est infini. (le n! "l'emporterait" sur anr^n)

en reprenant tes notations:
$\text{[math]}$ bornée.
Soit t>r. Essaie de montrer que (a_n/n!.t^n) est bornée.

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**bruno1510** · 31/03/2012, 13h21

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
puisque $\text{[math]}$ est bornée et que $\text{[math]}$ domine sur $\text{[math]}$ (ça reste à prouver mais je pense pouvoir me débrouiller pour ça) la limite de $\text{[math]}$ tend vers 0 pour tous t>r i.e pour tous t>R donc le rayon de convergence est l'infini. c'est ça?

**cleanmen** · 31/03/2012, 13h43

Nickel.
Reste à montrer que pr r>0, r^n/n! tend vers 0.
Plusieurs méthodes à ta disposition, dont une très classique, que je donne en spoil au cas où tu ne la connais pas:

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**bruno1510** · 31/03/2012, 14h39

en faite je pensais à la fonction exponentielle qui s'écrit sous forme de série entière de rayon de convergence infinie donc en reprenant le terme général de cette série on a nécessairement r^n/n! qui tend vers 0 sinon ça voudrait dire qu'elle diverge en un certain r et que la fonction exponentielle n'est donc pas définie sur tout R.

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**cleanmen** · 31/03/2012, 15h11

ouep tout à fait, si la serie des an converge alors (an) tend vers 0.
Ce résultat permet de montrer quelque fois qu'une suite(an) converge sans se fatiguer.

Dans ton cas par exemple, la série des r^n/n! converge pour tout r positif, et tu as plein d'outils à ta disposition pour le montrer (critère de d'alembert?), donc ...

**bruno1510** · 31/03/2012, 18h54

donc ça tend vers 0.
génial merci beaucoup pour l'aide

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