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Rayon de convergence



  1. #1
    delphinounette

    Unhappy Rayon de convergence


    ------

    Bonjour,

    je voudrais savoir quelle est la méthode pour trouver le rayon de convergence d'une série entiere.

    Voici l'énoncé de mon problème :

    Donner le développement en série entière de x/(1-x²) et présiser son rayon de convergence.

    En ce qui concerne le développement j'ai trouvé (-1)n * xn

    mais je n'en suis pas très sure, en fait j'ai fait :
    x/(1-x²) = 1/(1-x) * 1/(1+x) * x
    connaissant les développement de 1/(1-x) et 1/(1+x), j'en suis arriver à ce résultat, mais je crois que j'ai une erreur de signe.

    Pour le rayon par contre je ne sais pas du tout comment faire...

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    doudache

    Re : Rayon de convergence

    Citation Envoyé par delphinounette
    En ce qui concerne le développement j'ai trouvé (-1)n * xn

    mais je n'en suis pas très sure, en fait j'ai fait :
    x/(1-x²) = 1/(1-x) * 1/(1+x) * x
    connaissant les développement de 1/(1-x) et 1/(1+x), j'en suis arriver à ce résultat, mais je crois que j'ai une erreur de signe.
    Salut,

    Puisque tu connais le développement en série entière de la fonction t -> 1/(1-t), ne peux-tu pas en déduire celui de x -> 1/(1-x²) ? Tu verras alors qu'il y a une erreur d'exposant dans ton terme général.

    Pour calculer le rayon de convergence, tu peux essayer la règle de d'Alembert : si tend vers une limite , alors le rayon de convergence de la série entière de terme général vaut . Attention cependant, la réciproque est fausse !

  4. #3
    rvz

    Re : Rayon de convergence

    Bonjour,

    Effectivement, tu t'es trompé dans la série entière, puisque la fonction est impaire, et ta série entière ne l'est pas.
    Hint :
    Tu dois connaître le développement de 1/(1-y). Tu poses y = x^2, puis tu multiplies par x...
    Ce qui ne va pas dans ton raisonnement, c'est que quand tu multiplies, les formules sont plutot moches, et tu as du mal simplifier.

    Après, en général, on sait que si a_n/a_{n+1} a une limite, alors, c'est R !

    __
    rvz, critère de quelqu'un dont j'ai oublié le nom

    [edit : Bon d'accord, ça fait un peu doublon avec doudache..]

  5. #4
    delphinounette

    Re : Rayon de convergence

    D'accord merci

    j'ai encore une question :

    j'ai une fonction y(x) = ln(1/(1-x²)^(1/2)

    donc y'(x) = x/(1-x²)

    on me demande de donner le développement en série entière de y.
    Puisque on connais y'(x), je pense qu'il dois exister une méthde où l'on doit s'en servir ...?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    GuYem

    Re : Rayon de convergence

    En effet, si tu connais tes formules, tu peux donner le développement de y'.

    Ensuite il te suffit d'intégrer ce développement terme à terme pour obtenir celui de y.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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