Bonjour,
Je rencontre des problèmes actuellement dans un exercice :
Soit f : ]0, +∞[ → R une fonction definie par
f (x) = arcsin ((1-x)/(1+x^2))
Trouver le développent limite de Taylor d’ordre 4 de f en x = 1.
J'ai essayé pendant longtemps sans trouver une solution efficace pour ce problème, si on essaie de tout dériver, ça devient vite très très long et compliqué.
Quelqu'un aurait une idée de comment procéder.
Merci
Personne ?
Si , Si il y a toujours une personne!
Une première démarche (certes pas obligatoire, mais que le préfère et que je conseille !) consiste
effectuer un changement de variable suivant
(1-x)/(1+x^2) = t/(1+(1-t)^2) = t/(2-2t+t^2)
Et à présent on effectue un développement limité de la dernière fraction (au v(0)) à l'ordre 4.
Pour cela j’utilise une division suivant les puissances croissantes de t par (2-2t+t^2) à
l'ordre 4 et de en utilisant la méthode d'O.R.
.....0........0........0...... ....1.......0......***....2
.....0.......1/4.....1/2.......1/2.....0......***....2
.............................. .......................***...-1
On aura donc
t/(2-2t+t^2) = 0+t/2+(t^2)/2+(t^3)/4+o(t^4)
Puisque on dispose de
Arc sin u = u +(1/2)((u^3)/3)+((1*3)/(2*4)) ((u^5)/5) +o(u^5)
Alors en gardant les deux premiers termes uniquement (puisque la constante dans
le développement limité est nulle ) alors on aura
Arc sin (0+t/2+(t^2)/2+(t^3)/4+o(t^4)) =
(0+t/2+(t^2)/2+(t^3)/4+o(t^4))+(1/6)(0+t/2+(t^2)/2+(t^3)/4+o(t^4))^3+o((...)^4)
Les calculs sont effectué sur le tableau pratique suivant :
....1....**....0..........1/4..........1/2..........1/2.........0......*****.....0
....0....**...1/2........1/2..........1/4............0..........0..... .*****....1/2
...1/6..**...3/8........1/8............0.............0.. ........0......****......1/2
..........**.................. .............................. ...................****......1/4
..........**.................. .............................. ...................****....... 0
et on a en définitif
Arc sin (0+t/2+(t^2)/2+(t^3)/4+o(t^4)) = t/2+(t^2)/2+(t^3)(1/4+1/48)+(t^4)(3/48)
et donc en revenant à la variable initiale
Arc sin ((1-x)/(1+x^2)) =(1-x)/2 + ((1-x)^2)/2 + 13*((1-x)^3)/48 + ((1-x)^4)/16 + o((1-x)^4)
Tel est le résultat demandé (sauf erreur (s) de calculs de ma part !!!).
Cordialement.
