Bonsoir,
dans un exercice on me demande de prouver que l'union d'un nombre quelconque d'ouverts quelconque deest toujours un ouvert .
Or il y a un truc qui m'échappe, parce que avec ce que je pense avoir compris , il est facile de donner le contre exemple suivant pour deux ouverts de
x appartient à P . Donc par définition
C'est un ouvert ...
Voyez la définition d'un ensemble ouvert qu'on vous a donnée, sans quoi nous ne pourrons rien pour vous.
voila ma définition d'un ouvert :
"Un sous-ensemble U de R^n est dit ouvert si pour tout x appartenant à U il existe un parallélotope droit ouvert A de R^n tel que x appartient à A inclus dans U ."
or dans R un parallélotope droit ouvert n'est rien de plus qu'un intervalle ouvert .
en reprenant ma définition et en assumant que l'union de deux ouverts est un ouvert , j'obtiens dans mon exemple qu'il existe un intervalle ouvert de R contenant l'union de ]1;2[ et ]3;4[ . Ce qui est absurde ...
Ha ca y est je viens juste de comprendre . Pour tous x il existe un pavé ouvert ne signifie pas qu'il existe un unique pavé ouvert contenant tous les x . On peut prendre un pavé ouvert différent pour chaque x . Et dans mon exemple pour x appartenant à ]1;2[ je prend le pavé ouvert ]1;2[ et pour x appartenant à ]3;4[ je prend le pavé ouvert ]3;4[ . C'est bien ça ?
Sinon pour ta démonstration tu peux le faire avec les boules ouvertes .
TU peux dire en supposant que x appartient à la réunion d'ouvert . Donc x appartient à un ouvert en particulier qu'on appelle A. Alors il existe r >0 tel que la Boule ouverte de centre x et de rayon r est contenu dans A donc B(x,r) est contenu dans A .
Or A est inclus dans la réunion d'ouvert et la boule est inclus dans A donc la Boule est inclus dans la réunion d'ouverts et donc la réunion d'ouverts est un ouvert de Rn
Cordialement
Considérons un x appartenant à
Soit il appartient à ]1;2[, soit il appartient à ]3;4[
Dans le premier cas, il existe un parallélotope etc ... dans le deuxième cas, etc ...
Donc dans tous les cas etc ...
Un nombre quelconque, cela va-t-il jusqu'à un "nombre infini" ? ...
oui d'après mon énoncé , pour tout n appartenant à N .Un nombre quelconque, cela va-t-il jusqu'à un "nombre infini" ?
Merci shezone pour les idées !
Cela ne pose pas de problème particulier mais dans ce cas, il faut faire un raisonnement un peu plus formel:
Que signifie une réunion infinie? Il faut traduire cela en terme de quantificateurs (quel que soit , il existe) et utiliser les méthodes de raisonnement qui vont avec.
Euh, il y a un petit problème, n désigne-t-il la dimension de l'espace R^n dans lequel tu travaille ou un indice pour indexer les ensembles dont on prend la réunion.
Par réunion infinie, j'entendrais par exemple le réunion des ]1/i ; 1[ ou i est un entier ou un réel strictement supérieur à 1.
C'est bien sur un ouvert; quel est cet ensemble ?
Est-il bien nécessaire de distinguer l'union d'une famille infinie d'ouverts de l'union d'une famille finie?
Nombre quelconque, ça veut dire quelconque, pas nécessairement dénombrable. Ça peut être plus (donc tu ne peux pas forcément les indexer par IN)Envoyé par kasmurdanto
