Etude de fonction.

[invitea5398569]

Bonsoir, j'ai un problème sur une question.

J'ai f appartenant à C²(I,R), telle que f'' positive. Et je dois prouver que :

pour tout t dans [0,1], pour tout x,y dans I, f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y).

Je n'ai strictement aucune idée de piste de départ, je sais que f'' positive implique f' croissante, et que très souvent tx+(1-t)y avec 0<t<1 est lié à la convexité d'un ensemble, sauf que là j'ai pas un ensemble.

On me dit de procéder par étude de fonction (donc calcul de dérivée limite tout ça), mais je vois mal comment étudier une fonction dont je n'ai pas l'expression

J'ai pensé également à poser g = (tf(x)+(1-t)f(y) ) - f(tx+(1-t)y) et montrer que c'est positif, mais je dérive g par rapport à quoi ? x ou y ?

Bref je sature.
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[gg0]

Bonjour.

C'est bizarre, tu écris g sans dire quelle variable est utilisée. x et y jouent des rôles symétriques, donc en choisir un sans l'autre n'est pas très intéressant, alors que tu as une variable simple que tu peux choisir.

Cordialement.

NB : Dans la propriété à prouver, les choix de t d'une part et de x et y d'autre part sont indépendants.