Bonjour,
j'ai fait la résolution d'un exercice mais j'ai bien peur de m'être trompé. Alors je vous donne l'énoncé et ce que j'ai fait pour que vous m'aidiez à éclaircir les points obscurs.
Je vous remercie d'avance pour votre attention.
Montrer que pour tout x appartenant à [a;b], on peut trouver un élément c appartenant à ]a;b[ qui dépend de x et qui vérifie f(x)= (x-a)(x-b)/2 * f"(c)
On pourra utiliser pour chaque x fixé dans ]a;b[ une fonction auxiliaire
C(t)= f(t) - Cx/2(t-a)(t-b)
en choisissant Cx de façon approprié.
Ce que j'ai fait:
On considère la fonction C(t) définie sur [a;b] par C(t)= f(t) - Cx/2 *(t-a)(t-b)
(les deux derniers facteurs sont au numérateur) où naturellement Cx est choisi tel que Cx=0
(on vérifie que c'est possible)
Cx= -2 f(t)/(t-a)(t-b)
Par construction C(x) à ne pas confondre avec Cx a les mêmes propriétés que f(x).
On voit que C(a)=0, (on remplace t par a dans f(t) - Cx/2(t-a)(t-b), et comme C(a)= f(a), on a tout égale à 0. On en déduit en utilisant le théorème de Rolle qu'il existe c appartenant à ]a;b[ tel que c=0
C'(c)= f'(c) - Cx* x/2 * ( c-a)(c-b) (au numérateur les deux derniers)
d'où Cx= 2 f'(c)/ (c-a)(c-b)
(Cx c'est la même entité, c'est pour remplacer la notation alpha)
Comme c est plus grand que a et que a+c/2 est le milieu de [a;c], on considère l'intervalle [ (a+c)/2; c]. Il est inclus dans [a;b] et f' est continue et dérivable sur cet intervalle.
On applique le théorème des accroissements finis il existe d appartenant à
] (a+c)/2; c[ et c appartenant à ]a;b[ tel que f'(c)= (c-a)(c-b)/2 * f"(c) (au numérateur).
Ainsi f"(c)= 2 f'(c)/ [(c-a) (c-b)] ( au dénominateur)
Merci de m'avoir lu
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, C(t) sera identiquement nulle pour tout t.