Etude d'une fonction auxiliaire

[invite8937d22e]

bonjour je commence cette exercice et je sollicite votre aide merci,

Soit g la fonction définie sur ]0,+∞[ par : g(x) = (ln x) /(x) + e
note Cg la courbe représentative de g dans le plan rapporté à un repère orthonormal.
1)determiner les limites de g en 0 et en +∞ , que peut-on en déduire pour Cg?
2)determiner, à l'aide de la dérivée g' , le sens de variation de g
3) l'une des 3 courbes suivantes est la courbe Cg ,indiquer le numéro correspondant à Cg, en précisant les raisons de votre choix.
4)calculer g(1/e) , en deduire pour tout x appartenant à ]0,+∞[ le signe de g(x)


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[invite8937d22e]

1) g(x)= (ln x )/ (x) +e j'ai fait limite de (ln x )/ (x) lorsque x tend vers 0 = -∞
et limite de (ln x )/ (x) lorsque x tend vers +∞ = 0 , donc (ln x )/ (x) + e lorsque x tend vers 0 = -∞ ; et (ln x )/ (x) + e lorsque x tend vers +∞ = e
j'en deduit une asymptote horizontale d'equation y=e

2) g'(x) = 1/(x+1) car ln(x)=1/x , la dérivée de x est 1 , et e est une constante

3) je pense que c'est la figure 11 car on voit bien la fonction logarithme partant de -∞
et aussi une asymptote horizontale d'equation y=e

4) g(1/e) = (ln(1/e)) / (1/e) + e = 0 donc x est négatif entre ]0,(1/e)[ puis positif entre ]1/e,+∞[

[invite8937d22e]

je me suis trompé pour g'(x) car on dérive un quotient

(u/v)' = u'.v-u.v' ; u=lnx u'=1/2 v=x v'=1
on a : g'(x) = x/x - lnx = 1-lnx
donc g'(x)= 1-lnx ( e est une constante on l'enleve)

[invite8937d22e]

non j'ai oublier le v² c'est g'(x) = (1-lnx)/x²

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