Bonjour,
Pas vraiment de questions dans ce fil, mais quelques perspectives amusantes voire (qui sait) interessantes, sur l'adjectif le moins défini des mathématique: canonique. Et son lien avec la fameuse base canonique de k^n (pour ceux qui le veulent k peut etre remplacé par R, ca n'a rigouresuement aucune espace d'importance).
En fait il y a eu un flou artistique sur le mot canonique qui a régné jusqu'a plus ou moins le debut de XXe, et qui a fini par se dissiper de manière a peu près consensuelle. Mais il est amusant de remarquer qu'il reste encore quelques occurences où le mot canonique est resté par folklore, et on peut se demander s'il est justiciable de l'acceptation moderne de la canonicité.
En general on introduit la canonicité aux etudiants, pour les ev en disant que ce sont les choses qui "ne dependent pas d'une base". D'un autre coté on leur parle de la "base canonique", une base donc qui ne depend pas d'une base...
La notion de canonique de nos jours est associé à la notion de foncteur. On dit qu'un foncteur (à valeur dans la catégorie des ensembles) est représenté par un objet X, s'il est isomorphe en tant que foncteur à Hom(X,.).
Autrement dit on a une bijection F(T)->Hom(X,T) pour tout T tel que le diagramme suivant, commute pour tout fleche f:T->S.
A un tel representant X (qui est unique*) d'un foncteur, on a un objet canonique attaché, qui est l'image de l'identité dans Hom(X,X) dans F(X) via la bijection de l'un sur l'autre.
Regardons la catégorie , IsEV, des k-esp vect de dimension n, dont les morphismes sont les isomorphismes linéaires. On a un foncteur Base de IsEV dans Set, qui à un espace vectoriel de dimension fini associe l'ensemble de ses bases. C'est un foncteur parce que si (v_i) est une base de V et f:V->W un isom linéaire alors f(v_i) est une base de W.
Ce foncteur est représentable, par k^n. On a Isom(k^n, F) en bijection avec Base(F) et ce de manière fonctorielle, la bijection etant donnée par f s'envoie sur (f(1,0,...,0),... f(0,...,0,1)). Ainsi la base canonique est "canonique" parce que via la bijection Isom(k^n, k^n) sur Base(k^n) elle correspond à l'identité.... Mais il y a bien sur une arnaque!!
J'ai défini ma bijection comme étant celle qui ferait que ma base canononique soit la base canonique usuelle!
Choisissons à l'avance n'importe quel base de k^n, disons v_1,...,v_n. Alors j'ai une bijection Isom(k^n, F) sur Base(F) qui cette fois envoie f sur (f(v_1),...,f(v_n)) qui est tout aussi fonctorielle. La base canonique, associée à l'identité de k^n est alors v_1,...,v_n.
Mais poussons le raisonnement encore plus loin!!
Pourquoi prendre k^n? Si je choisis V, n'importe quel espace vectoriel fixé à l'avance de dimension n, et v_i une base de celui ci. Alors j'ai aussi une bijection fonctorielle Isom(V, F)=Base(F) qui à f associe (f(v_1),...,f(v_n)). Ceci est bien sur en totale adéquation avec le fait que le representant d'un foncteur est unique à isom unique pres. Il y a un et un seul isom qui envoie V sur V' en envoyant (v_1,...,v_n) sur (v'1,....,v'n).
* Unique, oui, mais seulement unique a isomorphisme unique prés! Et tout le sel est là!
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