La base canonique est elle vraiment canonique?

[invite02232301]

Bonjour,
Pas vraiment de questions dans ce fil, mais quelques perspectives amusantes voire (qui sait) interessantes, sur l'adjectif le moins défini des mathématique: canonique. Et son lien avec la fameuse base canonique de k^n (pour ceux qui le veulent k peut etre remplacé par R, ca n'a rigouresuement aucune espace d'importance).

En fait il y a eu un flou artistique sur le mot canonique qui a régné jusqu'a plus ou moins le debut de XXe, et qui a fini par se dissiper de manière a peu près consensuelle. Mais il est amusant de remarquer qu'il reste encore quelques occurences où le mot canonique est resté par folklore, et on peut se demander s'il est justiciable de l'acceptation moderne de la canonicité.

En general on introduit la canonicité aux etudiants, pour les ev en disant que ce sont les choses qui "ne dependent pas d'une base". D'un autre coté on leur parle de la "base canonique", une base donc qui ne depend pas d'une base...

La notion de canonique de nos jours est associé à la notion de foncteur. On dit qu'un foncteur (à valeur dans la catégorie des ensembles) est représenté par un objet X, s'il est isomorphe en tant que foncteur à Hom(X,.).

Autrement dit on a une bijection F(T)->Hom(X,T) pour tout T tel que le diagramme suivant , commute pour tout fleche f:T->S.

A un tel representant X (qui est unique*) d'un foncteur, on a un objet canonique attaché, qui est l'image de l'identité dans Hom(X,X) dans F(X) via la bijection de l'un sur l'autre.

Regardons la catégorie , IsEV, des k-esp vect de dimension n, dont les morphismes sont les isomorphismes linéaires. On a un foncteur Base de IsEV dans Set, qui à un espace vectoriel de dimension fini associe l'ensemble de ses bases. C'est un foncteur parce que si (v_i) est une base de V et f:V->W un isom linéaire alors f(v_i) est une base de W.

Ce foncteur est représentable, par k^n. On a Isom(k^n, F) en bijection avec Base(F) et ce de manière fonctorielle, la bijection etant donnée par f s'envoie sur (f(1,0,...,0),... f(0,...,0,1)). Ainsi la base canonique est "canonique" parce que via la bijection Isom(k^n, k^n) sur Base(k^n) elle correspond à l'identité.... Mais il y a bien sur une arnaque!!
J'ai défini ma bijection comme étant celle qui ferait que ma base canononique soit la base canonique usuelle!

Choisissons à l'avance n'importe quel base de k^n, disons v_1,...,v_n. Alors j'ai une bijection Isom(k^n, F) sur Base(F) qui cette fois envoie f sur (f(v_1),...,f(v_n)) qui est tout aussi fonctorielle. La base canonique, associée à l'identité de k^n est alors v_1,...,v_n.

Mais poussons le raisonnement encore plus loin!!
Pourquoi prendre k^n? Si je choisis V, n'importe quel espace vectoriel fixé à l'avance de dimension n, et v_i une base de celui ci. Alors j'ai aussi une bijection fonctorielle Isom(V, F)=Base(F) qui à f associe (f(v_1),...,f(v_n)). Ceci est bien sur en totale adéquation avec le fait que le representant d'un foncteur est unique à isom unique pres. Il y a un et un seul isom qui envoie V sur V' en envoyant (v_1,...,v_n) sur (v'1,....,v'n).



* Unique, oui, mais seulement unique a isomorphisme unique prés! Et tout le sel est là!
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[stefjm]

En general on introduit la canonicité aux etudiants, pour les ev en disant que ce sont les choses qui "ne dependent pas d'une base". D'un autre coté on leur parle de la "base canonique", une base donc qui ne depend pas d'une base...

Et pas un étudiant ne demande d'éclaircissement?

[Tryss2]

MiPaMa, tu semble dire qu'il n'y a pas de base canonique...

J'ai l'impression que la définition que tu choisi passe à coté de ce pourquoi on appelle ces bases des bases canoniques :

Je peux écrire la base canonique de K^n sans rien savoir du corps K ! Si c'est un corps, il a un 0 et un 1, et la base est "la même" quelque soit le corps K choisi !

[invite52487760]

Salut :

Je trouve ton texte splendide ... L'idée fondamentale que je retiens de ton texte, est que, par rapport à l'exemple que tu évoques, celui du foncteur des bases, alors, pour tomber sur la base canonique de , via la transformation naturelle : définie par : , il suffit de chercher l'image de par . Mais, même à ce stade de formalisme, j'ai du mal à saisir ce qu'on entend par le mot : "canonicité" de point de vue "intuitive". Perso, l'image qui se trace dans mon esprit du mot "canonique" lorsqu'il est évoqué, est que, c'est celui selon lequel tous les autres éléments n'existeront pas si lui il n'existait pas. C'est à dire, l'existence de tous les objets que nous retrouvons émane d'un objet canonique qui l'engendre. C'est à peu la même idée de dire que si dieu n'existait pas alors nous n'aurions pas existé ... Attention, si nous n'existons pas, cela n'implique pas que dieu n'existe pas. Donc, ce n'est pas réciproque ... et c'est là toute la différence.
Bon, oublions cette histoire qui fait débat sur dieu, car c'est interdit de l'exposer sur ce forum, mais revenons au formalisme autour du langage des catégories à travers lequel tu exprimes le concept de canonicité.
En somme, la notion de canonicité pour moi ou notion de solution universelle par analogie, qui représente un foncteur quel-qu’il soit est un objet initial ( ou final ! ) dans la catégorie d'objets et morphismes mis en jeu. A titre d'exemples, la catégorie des ensembles a pour objet initial l'ensemble vide, c'est un objet canonique car s'il n'existe pas, tous les objets de la catégorie n'existeront pas. Attention, il se peut que j'ai tort, mais, c'est comme ça que je pense sur ce qu'est la notion de canonicité.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bonjour,

Cette réponse est aussi un ensemble de commentaires dont la pertinence est, j'imagine, relative.

Pas vraiment de questions dans ce fil, mais quelques perspectives amusantes voire (qui sait) interessantes, sur l'adjectif le moins défini des mathématique: canonique. Et son lien avec la fameuse base canonique de k^n (pour ceux qui le veulent k peut etre remplacé par R, ca n'a rigouresuement aucune espace d'importance).

En fait il y a eu un flou artistique sur le mot canonique qui a régné jusqu'a plus ou moins le debut de XXe, et qui a fini par se dissiper de manière a peu près consensuelle. Mais il est amusant de remarquer qu'il reste encore quelques occurences où le mot canonique est resté par folklore, et on peut se demander s'il est justiciable de l'acceptation moderne de la canonicité.

Il me semble que l'emploi du terme « canonique » est un cas d'homonymie, deux sens du mot ayant pour synonyme respectif « naturel » et « standard » (eux-mêmes étant des cas d'homonymie, mais peut-être à moins forte raison). Ainsi, tout emploi du mot vient avec sa signification implicite, signification certes souvent difficile à reconnaître considérant la proximité entre les deux significations possibles. Il y a en effet une distinction plus nette entre « naturel » et « standard », le premier pouvant signifier vaguement « ce qui est indépendant de l'être humain », le second évoquant la comparaison à divers critères potentiellement subjectifs et humains. D'un autre côté, est naturel ce qui « va de soi », ce qui « va dans l'ordre des choses », ce qui « entre dans les normes » (on sent le glissement progressif vers le « standard »), et est aussi standard ce qui répond à divers critères objectifs et « réels », « naturels ». En fait, une fois établis certains standards, une fois établies certaines conventions et normes, il est possible de qualifier une chose de « naturelle » si elle n'est pas arbitraire vis-à-vis de ces normes, si elle cadre bien avec l'ordre et la cohérence découlant de ces normes.

En general on introduit la canonicité aux etudiants, pour les ev en disant que ce sont les choses qui "ne dependent pas d'une base". D'un autre coté on leur parle de la "base canonique", une base donc qui ne depend pas d'une base...

L'expression « base canonique » réfère à une construction précise de l'espace vectoriel , comme combinaisons linéaires formelles d'éléments dont on dispose « déjà ». Une fois construit, il est possible d'oublier les détails de cette construction et de penser qu'une base en vaut une autre, ce qui est dans un sens tout à fait vrai. L'oubli de ces détails revient à se libérer de certaines conventions, de certaines contraintes, ce qui retire le caractère « canonique / standard » de la « base canonique ».

Une « transformation canonique » entre espaces vectoriels en est une qui est « naturelle » (même de nos jours, du point de vue catégorique, les expressions « transformation naturelle » et « transformation canonique » sont utilisées de manière interchangeable ; la théorie des catégories supérieures permet de clarifier la chose, mais au coût de structures supplémentaires) et « qui cadre bien » du point de vue (de la catégorie) des espaces vectoriels (sans base distinguée). Plus généralement, une « entité canonique » (du point de vue de la catégorie des espaces vectoriels) est en une qui « vit bien dans les limites de cette catégorie ».

En un sens, la « base canonique » de est effectivement indépendante de toute base : qu'importe la base choisie pour , la construction initiale de n'est pas affectée ou modifiée par ce choix. D'un autre côté, la construction elle-même n'est pas canonique du point de vue de la catégorie des espaces vectoriels, puisqu'elle nécessite évidemment plus d'ingrédients et d'opérations qui distinguent le résultat de tout autre objet de la catégorie...

La notion de canonique de nos jours est associé à la notion de foncteur. On dit qu'un foncteur (à valeur dans la catégorie des ensembles) est représenté par un objet X, s'il est isomorphe en tant que foncteur à Hom(X,.).

Autrement dit on a une bijection F(T)->Hom(X,T) pour tout T tel que le diagramme suivant , commute pour tout fleche f:T->S.

A un tel representant X (qui est unique*) d'un foncteur, on a un objet canonique attaché, qui est l'image de l'identité dans Hom(X,X) dans F(X) via la bijection de l'un sur l'autre.
* Unique, oui, mais seulement unique a isomorphisme unique prés! Et tout le sel est là!

La bijection est un exemple de « transformation naturelle » ou « canonique », mais elle n'est pas unique, donc de prime abord « non favorisée ». Par contre, comme indiqué au dernier paragraphe cité ci-dessus, il y a d'attaché à un tel représentant (soit encore à une telle transformation naturelle ) un objet particulier, qui est « naturel » et « standard » du point de vue de ce représentant précis, d'où son caractère « canonique ». Cet objet n'est pas foncièrement canonique du point de vue du foncteur F, mais il l'est une fois inclus dans les données, dans les normes, la transformation naturelle. Il y a probablement moyen de formaliser cela « à un niveau supérieur », via une « méta-transformation canonique » : .

Regardons la catégorie , IsEV, des k-esp vect de dimension n, dont les morphismes sont les isomorphismes linéaires. On a un foncteur Base de IsEV dans Set, qui à un espace vectoriel de dimension fini associe l'ensemble de ses bases. C'est un foncteur parce que si (v_i) est une base de V et f:V->W un isom linéaire alors f(v_i) est une base de W.

Ce foncteur est représentable, par k^n. On a Isom(k^n, F) en bijection avec Base(F) et ce de manière fonctorielle, la bijection etant donnée par f s'envoie sur (f(1,0,...,0),... f(0,...,0,1)). Ainsi la base canonique est "canonique" parce que via la bijection Isom(k^n, k^n) sur Base(k^n) elle correspond à l'identité.... Mais il y a bien sur une arnaque!!
J'ai défini ma bijection comme étant celle qui ferait que ma base canononique soit la base canonique usuelle!

Choisissons à l'avance n'importe quel base de k^n, disons v_1,...,v_n. Alors j'ai une bijection Isom(k^n, F) sur Base(F) qui cette fois envoie f sur (f(v_1),...,f(v_n)) qui est tout aussi fonctorielle. La base canonique, associée à l'identité de k^n est alors v_1,...,v_n.

Mais poussons le raisonnement encore plus loin!!
Pourquoi prendre k^n? Si je choisis V, n'importe quel espace vectoriel fixé à l'avance de dimension n, et v_i une base de celui ci. Alors j'ai aussi une bijection fonctorielle Isom(V, F)=Base(F) qui à f associe (f(v_1),...,f(v_n)). Ceci est bien sur en totale adéquation avec le fait que le representant d'un foncteur est unique à isom unique pres. Il y a un et un seul isom qui envoie V sur V' en envoyant (v_1,...,v_n) sur (v'1,....,v'n).

Pour rejoindre le commentaire de Tryss2, j'imagine qu'il y a moyen de formaliser (dans une certaine mesure) la construction de dans le langage catégorique. On considère la catégorie dont les objets sont les ensembles non-ordonnés à n éléments et les morphismes sont les bijections (« la bijection »). La prise des -combinaisons linéaires formelles donne lieu à un foncteur , avec le prolongement linéaire de l'application . Ce foncteur est représentable par n'importe quel objet : tout « objet » est envoyé sur et il y a moyen de représenter les « morphismes » aussi. Certes, ce représentant n'est pas unique, mais je pense que c'est là où il faut sortir un peu de la théorie des catégories et aller vers la théorie des ensembles : la construction des nombres entiers naturels donne lieu à un objet « distingué » . Cette construction peut peut-être s'exprimer comme une opération catégorique supérieure entre les divers , opération vis-à-vis de laquelle le choix (comme représentation) a quelque chose de canonique.

En résumé, et de manière commune aux diverses significations de « canonique », j'ai l'impression qu'il faut toujours avoir à l'esprit certaines données (probablement elles-mêmes foncièrement arbitraires, mais pertinentes pour la situation d'intérêt) par rapport auxquelles déterminer la canonicité d'une entité. C'est à tout le moins ma pratique. Même si l'emploi du mot s'est précisé, le problème n'a peut-être été poussé qu'à un niveau supérieur ; je crains donc qu'il n'y ait pas un emploi absolu possible pour « canonique », mais uniquement des emplois relatifs.

PS : Je remarque que ma première et ma dernière phrase finissent par le même mot. La pertinence de mon message est peut-être justifiée par lui-même...

[Gondolin]

Désolé de déterrer cette discussion vieille d'un an mais je la trouve amusante.
Je pense que la base canonique est vraiment canonique:
1) entre k et un simple k-ev V de dimension 1 sur k (donc un "torseur") on a une différence de taille: k a un point base canonique donnée par l'unité '1'.
Donc (k,{1}) est un élément canonique de la catégorie C des espaces vectoriels avec des points marqués où un morphisme fV,v) -> (W,w)
satisfait f(v) \subset w.
2) Si (V,{v_i}) et (W,{w_j}) sont deux objets de C, alors le coproduit est (V \oplus W, {(v_i,0), (0,w_j)}.
Donc en appliquant ça à (k,{1}) on retrouve la base canonique (k^n,{e_1,...,e_n}).
3) On a donc définit la base canonique a une action de S_n prêt. (Et encore je devrais dire S_{e_1,...,e_n} car je n'ai pas expliqué pourquoi on pouvait identifier un ensemble à n éléments avec {1,...,n} )
Mais on peut fixer ça en demandant que pr_i(e_i)=1.

[PrRou_]

Bonsoir

En general on introduit la canonicité aux etudiants, pour les ev en disant que ce sont les choses qui "ne dependent pas d'une base".

si les choses ne dépendent pas du choix d'une base (comme les polynômes caractéristique ou minimal d'un endomorphisme), je dis que c'est une notion intrinsèque (aux endomorphismes sur cet exemple).

L'adjectif canonique fait, à mon avis, référence à un caractère défini par un "choix minimaliste et universel" (je ne sais pas si je me comprends moi-même...) : les espaces vectoriels n'ont pas de base canonique en général, mais K^n en a une, quel que soit l'anneau K. Idem pour celle de l'anneau des polynômes K[X], les matrices M_pq(K). Le déterminant (en tant qu'application n-linéaire alternée) est canonique en raison de sa valeur 1 sur la base canonique des matrices carrées. Etc.