Théorème de plongement

[Deedee81]

Bonjour,

De passage parmi vous, j'en profite pour poser une petite question.

Je suis en train de réviser mes bases et je tombe sur une difficulté.

Soit E un espace vectoriel normé, E’ un sous-espace dense de E et u:E'→F une application linéaire continue de E’ dans un espace de Banach F, alors il existe un prolongement linéaire continu unique u':E→F à l’espace E tout entier (la linéarité du prolongement est évidente par continuité).

C'est vraiment un truc basique utilisé dans tous les coins.

Je n'ai pas la démonstration et j'ai du mal à voir comment on démontre ça. Même si intuitivement il me semble que ça ne doit pas être la mer à boire.
Si vous avez un lien sur la démo, ou si vous savez m'expliquer comment on le démontre ou même juste les idées de base pour entamer la démo (ce qui me ferait alors un bon exercice) ce serait sympa.

J'aurai certainement pleins d'autres questions. En fait, dans la foulée :
Est-ce que vous sauriez m'expliquer ce que c'est qu'un espace vectoriel réticulé ? J'ai des références à ça dans mes notes et je n'ai pas trouvé quelque chose de clair sur internet (ou alors j'ai mal cherché).

Merci d'avance.
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Prend (u_n) une suit qui converge vers a dans E, avec u_n dans E', c'est possible par densité de E'. Alors u(u_n) est de Cauchy car u est lipshitzienne et donc converge vers un v dans F. Pose u(a)=v, et verifie que v ne depend pas du choix de (u_n) et que u est continue.

[invite93e0873f]

J'aurai certainement pleins d'autres questions. En fait, dans la foulée :
Est-ce que vous sauriez m'expliquer ce que c'est qu'un espace vectoriel réticulé ? J'ai des références à ça dans mes notes et je n'ai pas trouvé quelque chose de clair sur internet (ou alors j'ai mal cherché).

Après recherche dans Internet, il semblerait que ce soit un espace vectoriel qui est, de surcroît, un treillis. Plus explicitement, un espace vectoriel E sur est réticulé étant donné une relation d'ordre compatible avec la structure vectorielle (si , alors et pour tout et pour tout ) telle que pour toute paire , il existe un supremum (une plus petite borne supérieure) et un infimum (une plus grande borne inférieure).

C'est une abstraction de certaines propriétés des espaces de fonctions.

Merci pour la découverte !

[invitecbade190]

Salut :

Si je peux être utile, un espace réticulé est une particularité qui figure dans des cours qui portent sur les algèbres de Heyting, mais, ce n'est pas l'objet de votre question initiale, alors, je m'abstiens d'entrer dans plus de détails.
Pour plus d'infos, visite sur ce lien : http://forums.futura-sciences.com/lo...1fb5ac1932a956
Mais, c'est déroutant, on sort complètement du cadre de votre question initiale.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Je suis de passage (fêtes obliges) mais je vous remercie pour ces réponses précises. Je regarderai ça en détail à la rentrée.

Joyeux noël à tous,