Question sur les ensembles

**David977** · 31/12/2015, 14h17

Bonjour

,

J'ai une question que je me pose souvent quand je réalise mes exercices, si "j'ai le droit ou non" de déduire quelque chose. Je m'explique :

J'ai par exemple x+y € F.
Je sais que F est un espace vectoriel.
Est-ce que je peux en déduire que x € F et y € F

J'ai cherché des exemples et contre exemples et déjà il est clair que si F n'est pas un espace-vectoriel alors, x + y € F n'implique pas en général x € F et y € F.
Mais si F est un espace-vectoriel, je ne sais pas si la propriété est vraie (et j'arrive pas à trouver des exemples d'espaces vectoriels "faciles à manipuler")

Merci, et désolé si ce n'est pas assez clair !

**Médiat** · 31/12/2015, 14h26

Bonjour,

{0} est un espace vectoriel ; dans tout espace vectoriel on a u + (-u) = 0 clairement, on ne peut pas (dans le cas général) en déduire que u et (-u) sont nuls.

**CM63** · 31/12/2015, 14h27

Bonjour,

S'il s'agit d'un sous-espace vectoriel, l'implication est en générale fausse. x+y peut très bien appartenir au sous-espace sans que ni x ni y ne lui appartienne. Dans le cas plus général, je ne saurais répondre.

A plus.

**David977** · 31/12/2015, 14h37

Bonjour,
Merci pour la réponse rapide

Donc j'ai bien l'implication qui est fausse.
Mais du coup, j'ai un problème. Voila une implication que je dois montrer. J'ai commencé comme ceci :
Nom : IMG_20151231_153132.jpg
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Taille : 116,7 Ko

Nom : IMG_20151231_153132.jpg
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Je voulais en conclure.
Donc x € F y € F et x € G y € G
Absurde car F pas inclu dans G et G pas inclu dans F donc si x € F alors il n'appartient pas à G.

Mais du coup, ça ne marche plus et je ne vois pas comment faire. Est-ce que dans le cas particulier de l'exercice ça marche ? (Je ne pense pas parce que F n'est pas un espace vectoriel particulier et la propriété est fausse en générale).

Merci d'avance

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**David977** · 31/12/2015, 15h13

En fait, en y réfléchissant plus profondément, je crois que ce que je viens de marquer est faux (ce qui est sur la photo est juste normalement) mais ce que je comptais faire est faux, du coup je ne vois vraiment pas.

**PlaneteF** · 31/12/2015, 15h38

Bonjour,

Supposons que $\text{[math]}$ soit un ss-ev de $\text{[math]}$ .

Maintenant, démontrer que $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ revient à démontrer que : Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

On traduit alors $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$

Je te laisse le soin de poursuivre.

Cordialement

**David977** · 31/12/2015, 16h20

Envoyé par PlaneteF

Bonjour,

Supposons que $\text{[math]}$ soit un ss-ev de $\text{[math]}$ .

Maintenant, démontrer que $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ revient à démontrer que : Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

On traduit alors $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$

Je te laisse le soin de poursuivre.

Cordialement

Je propose cette résolution qui me paraît juste (je me demande si la disjonction de cas est bien faite à la fin) :
IMG_20151231_171831.jpg

Une petite question, est-ce que "être un sous-espace vectoriel de E" est la même chose qu'être "un espace vectoriel" ?

**David977** · 31/12/2015, 16h31

Et aussi, est-ce que l'équivalence suivante est toujours vraie ?

a => b ou c <=> a et non(b) => c

Merci d'avance

Désolé si la question peut paraître bête !

**Tryss** · 31/12/2015, 23h36

Il manque des parenthèses.

Mais oui, c'est vrai. Pour s'en convaincre, on peut faire les tables de vérité :

Code:

X = (a => (b ou c))
Y = ( (a et non(b)) => c)

a     b     c     X     Y
----------------------------
0     0     0     1     1
0     0     1     1     1
0     1     0     1     1
0     1     1     1     1
1     0     0     0     0
1     0     1     1     1
1     1     0     1     1
1     1     1     1     1

**PlaneteF** · 01/01/2016, 01h47

Bonsoir,

Envoyé par David977

Une petite question, est-ce que "être un sous-espace vectoriel de E" est la même chose qu'être "un espace vectoriel" ?

Ben non, ... reprend la définition de l'un et de l'autre, il ne s'agit pas de la même chose. Ce que l'on peut dire c'est qu'un sous-espace vectoriel de $\text{[math]}$ muni des lois induites, est lui-même un espace vectoriel. Par contre dans l'autre sens il y a une information en moins en lien avec $\text{[math]}$ lui-même.

Concrètement dans ton cas ici, tu travailles bien avec des sous-espaces vectoriels de $\text{[math]}$ , et pas avec des espaces vectoriels sortis de l'on ne sait où !

Cdt

**Médiat** · 01/01/2016, 07h53

Bonjour,

Un sous-espace vectoriel est-il un espace vectoriel : oui
Un espace vectoriel est-il un sous-espace vectoriel : oui (ne serait-ce que de lui-même)
Un espace vectoriel est-il un sous-espace vectoriel strict : oui (on peut toujours construire un espace vectoriel incluant strictement un espace vectoriel donné)
Deux espaces vectoriels sur un même corps peuvent toujours être considérés comme des sous-espaces d'un même espace vectoriel.

**PlaneteF** · 01/01/2016, 08h54

Envoyé par David977

Et aussi, est-ce que l'équivalence suivante est toujours vraie ?

a => b ou c <=> a et non(b) => c

(...)

Envoyé par Tryss

Il manque des parenthèses.

Mais oui, c'est vrai. Pour s'en convaincre, on peut faire les tables de vérité :

Bonjour,

Autre façon de faire, avec un raisonnement "naturel".

Dans le sens $\text{[math]}$ : Supposons $\text{[math]}$ . Supposons alors $\text{[math]}$ . On en déduit immédiatement $\text{[math]}$ ... mais on a $\text{[math]}$ , donc forcément $\text{[math]}$ .

Même principe dans l'autre sens.

Cdt

**David977** · 01/01/2016, 19h54

Ok je vois merci beaucoup

Et juste, au final est-ce que vous pensez que ma démonstration est juste ?
http://forums.futura-sciences.com/at...231_171831.jpg

Merci pour toute l'aide apportée

**PlaneteF** · 01/01/2016, 20h19

Oui c'est bon.

Cdt

Question sur les ensembles