Principe de réflexion de Schwarz

[inviteae4b226b]

Bonjour,

J'ai un oral lundi matin sur les fonctions holomorphes (leçon d'agreg), mais j'ai un problème avec mes développements : je n'ai pas vraiment eu le choix pour mes développements (je n'ai pas assez de livres à ma disposition pour traiter certaines notions), et je n'ai pas trouvé mieux (j'ai pourtant parcouru mes livres du début à la fin) que le principe de réflexion de Schwarz (dans Rudin).
Problème : j'ai du mal à comprendre la preuve! J'ai regardé sur internet, toutes les preuves données utilisent le théorème de Morera, mais ça ne m'arrange pas du tout, étant donné la structure de mon plan...

A la place, on utilise la propriété de la valeur moyenne : https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti..._de_la_moyenne

Le théorème est le suivant : Supposons que L soit un segment de l'axe réel, que A+ soit un domaine (ie ouvert connexe) dans B={z=x+iy / y>0}, et que tout t dans L soit le centre d'un disque ouvert D_t tel que B "inter" D_t soit inclus dans A+.
On pose A-={conjugué de z / z est dans A+}.
Soit f=u+iv holomorphe dans A+ et supposons limv(z_n)=0 pour toute suite {z_n} dans A+ qui converge vers un point de L.
Alors il existe F holomorphe dans (A+ "union" L "union" A-) telle que F(z)=f(z) dans A+. F satisfait aussi F(conjugué de z)=conjugué de F(z) pour z dans (A+ "union" L "union" A-)

Preuve :
On pose W=(A+ "union" L "union" A-). On prolonge v à W par v(z)=0 si z est dans L et v(z)=-v(conjugué de z) si z est dans A-
Alors v est continue sur W, OK, et v a la propriété de la moyenne. Pourquoi?? Je sais que les fonctions holomorphes ont la propriété, mais ici v est holomorphe sur A+, vu la façon dont est définie son extension je suppose qu'elle l'est sur tout W, mais je ne suis pas sûre que ça soit évident...
On en déduit que v est harmonique sur W (théorème qui précède dans Rudin, OK).
Donc v est la partie imaginaire d'une fonction holomorphe, OK.
A chaque D_t correspond f_t holomorphe sur D_t telle que f_t=v. OK
Chaque f_t est déterminée par v à une constante additive réelle près. Je suis pas sûre de comprendre, cette constante correspond à la partie imaginaire?! Pourquoi est-ce que ça serait une constante??
Si cette constante est choisie de sorte que f_t(z)=f(z) pour un z dans (D_t "inter" B), alors ceci sera encore vrai pour tout z dans (D_t "inter" B), puisque f-f_t est constante dans la région (D_t "inter" B). Pas compris... Pourquoi f-f_t est constante dans cette zone?
Nous supposons que les fonctions sont ainsi choisies.

Je mettrai la suite si j'arrive à comprendre le début déjà... C'est une preuve assez longue, et donc pas super à réécrire!

Merci d'avance, et bonne année!
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[inviteae4b226b]

Je suis pas sûre de comprendre, cette constante correspond à la partie réelle?! Pourquoi est-ce que ça serait une constante??
Pardon!

[inviteea028771]

De façon générale, il semble qu'il vaut mieux (le jour du concours) un développement simple mais bien maitrisé qu'un développement compliqué mais pas au point. Et si on peut placer le développement dans plusieurs leçons, c'est un gros avantage point de vue préparation. D'autre part, il ne faut pas que la preuve soit trop longue : tu n'a qu'un quart d'heure au maximum, et ça n'est pas si long que ça.

Sinon, pour ta première question, c'est un peu cavalier de parler de fonction holomorphe quand celle ci est à valeur réelle (oui, v est à valeur réelle)

Par contre la propriété de la moyenne est vérifiée sur A+ : il suffit d'écrire la propriété de la valeur moyenne pour f, puis de séparer partie réelle et partie imaginaire. De même sur A-, un petit changement de variable marche bien, et sur L c'est trivial.

Pour ta deuxième question, cela veut dire que f_t = r_t+v + C : ie. deux fonctions f_t ne peuvent différer que d'une constante réelle, pas que la partie réelle est une constante.

Pour ta troisième question, je pense qu'il faut plutôt lire f_t(z) = F(z). En effet, F est holomorphe sur B inter D_t, et v est la partie imaginaire de F. Donc F ne diffère de f_t que d'une constante.

PS : Je ne devrai pas le dire, mais les livres, ça peut se trouver sur internet

[inviteae4b226b]

Bonjour,

D'abord, merci beaucoup pour la réponse!!

Honnêtement, ce n'est pas la preuve que je choisirai pour mon oral, le problème c'est que je n'ai que Rudin et Dolbeault à disposition, que la bibliothèque universitaire n'ouvre que lundi matin (au moment où je passe à l'oral) et que je n'ai donc aucun moyen de me procurer d'autres livres. J'ai cherché sur internet, je n'en ai pas trouvé (j'ai peut être mal cherché?).
J'aurais aimé faire, par exemple, la densité des polynômes orthogonaux, ou le prolongement de la fonction zeta. J'ai trouvé les preuves sur internet, mais je n'ai pas le cours qui va avec, et je ne sais donc pas comment les placer dans mon plan... Au lieu de ça je me retrouve avec le principe de réflexion que j'ai trouvé à la dernière minute dans Rudin
Si vous avez des suggestions, je suis tout ouïe... Je ne peux pas arriver lundi avec un seul développement, (le premier étant un calcul d'intégrale par les résidus), j'ai cherché toute la journée hier, je n'ai pas trouvé mieux que cette preuve...

Pour la première question, d'accord sur A+ et A-, Ok, mais pour L, j'aimerais confirmation :
Si z est dans L, alors v(z)=0, et l'intégrale de v(z+r_n*exp(it)), je comprendrai pourquoi elle serait égale à 0 si c'était l'intégrale de z+r_n*exp(it), vu que c'est l'intégrale du cercle de centre z, situé sur l'axe des réels, et de rayon r_n, je vois ça un peu comme la différence des aires au-dessus et en-dessous des abscisses, qui vaut donc 0. En appliquant v maintenant, ça me perturbe un peu. C'est la partie imaginaire de f, alors je n'arrive pas à voir ce qu'elle peut faire, à quoi ça ressemble! (Je ne sais pas si je m'exprime très clairement...)

Pour la deuxième question, deux fonctions f_t ne peuvent différer que d'une constante réelle, pour le même t?

Pour la troisième, F est introduite dans la suite, donc je ne pense pas que ça soit ça. Ou alors quelque chose m'échappe encore!

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Pour la 1) sur la partie positive, tu intègres v(z), et sur la partie négative tu intègres -v( z_barre ). Mais z_barre est le symétrique de z par rapport à l'axe des abscisses, donc c'est comme si tu parcourais le demi-cercle positif dans un sens puis dans l'autre. Fait le calcul par un changement de variable si tu n'es pas convaincu

Pour la 2) à priori oui, on a montré ce résultat à t fixé. C'est (probablement) par la suite que l'on va recoller les morceaux (un peu de compacité peut être). A noter que la constante est arbitraire, et que l'on peut la choisir comme on veut

Pour la 3) oui, tu as raison, c'est f. Mais l'argument est le même : f est holomorphe sur B inter D_t (puisque B inter D_t est dans A+). De plus, v est la partie imaginaire de cette fonction, donc f vérifie le résultat de 2)