Prouver continuité d'une fonction

[invitecb82f686]

Bonjour,

J'en appelle à vous pour m'aider, si possible, sur un exercice. Le voici :

Montrer que est continue en a, pour a appartenant à , en vérifiant directement la caractérisation de Weierstrass .

Et je n'ai aucune idée de comment faire ça. Car en gros je dois trouver N selon a, tel que pour tout e>0 (donné), si x appartient à ]a-N;a+N[, alors f(x) appartient à ]f(a)-e;f(a)+e[.
Mais comment faire ?

Du coup j'ai commencé à me dire qu'on allait voir ce que ça donne pour a=1. Soit e>0 donné. On a :





Mais j'ai pas l'impression que ça me mène quelque part.

Comment dois-je faire ?

Merci d'avance !
-----

[ansset]

!

c'est ça la piste.
EDIT: j'ai lu trop vite.
c'est pour tout a.
il faut généraliser.

[invitecb82f686]

Justement je ne vois pas comment faire pour généraliser. Si on part de , on a , donc :
.

Je pars bien ou je m'égare là ?

[breukin]

Car en gros je dois trouver N selon a, tel que pour tout e>0 (donné), si x appartient à ]a-N;a+N[, alors f(x) appartient à ]f(a)-e;f(a)+e[.

Non, pour a et pour e, il faut trouver N "selon" a et e, tel que, si x appartient...

Sans ça, vous partez bien, mais c'est vrai que ça va être un peu calculatoire...

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

soit


je dois arrêter car j'ai un ros pb d'ordi avec plein de touches clavier qui ne fonctionnent plus.
donc je bascule entre le clavier e le clavier "virtuel", e ça me prend des plombes à chaque ligne.
surtout en latex.

[ansset]

bon, j'essaye quand même

soit

d'où


avec ça on s'en sort

[invitecb82f686]

Je m'excuse si mes questions vont paraître bêtes mais... comment on a :



Ca dépend des valeurs de x et de a, non ?

et de même comment on passe de :




Quant à la suite, pour finir, je vais y réfléchir. Il faut bien repartir de , en se servant de : , non ?

[ansset]

à chaque fois , les multiplicateurs sont >= 0.
pour la fin une | qcq chose| est tj posiive donc ta première inéalité est unitile.

[ansset]

à chaque fois , les multiplicateurs sont >= 0.
.

pardon ils sont >0

[invitecb82f686]

Il y a définitivement une chose que je ne comprends pas, et je m'excuse d'avance si ces questions vous paraissent bêtes. Mais faudrait-il pas que soit supérieur ou égal à 1 pour qu'on puisse écrire l'inégalité : . Or ici, rien ne nous l'assure, vu que x et a peuvent prendre différentes valeurs ?

Et concernant la seconde inégalité, j'ai toujours pas bien compris, pour moi on aurait :




en supposant |x+a| différent de 0.

Sinon, en quoi le fait que nous assure qu'on a bien cette même inégalité sans |x+a| (qui est > 0) ?

[ansset]

oui, je suis aller trop vite, désolé.
je reviens demain, mea culpa.

[invitecb82f686]

Pas de soucis ! Je vais aussi continuer à chercher...

[ansset]

compte tenu de la symétrie de f, je pense qu'il suffit de montrer la propriété sur [0,1].

[ansset]

bjr,
j'ai passé la journée avec une de mes filles et mon pote de passage à Paris.
mais je crois avoir une solution ( imaginée dans le RER ).
si tu n'as rien, je te donne ce que j'ai fait.
Cordialement.

[ansset]

je te livre déjà le début.
je reste ds un premier temps sur [0,1]
|a-x|<=N =>
|a-x||a+x|<=2N ( a et x sont <=1 donc a+x<=2 ) soit
|a²-x²|<=2N
|a²-1+1-x²|<=2N
|(1-x²)-(1-a²)|<=2N
et (1-x²) comme (1-a²) app [0,1]
rac(|(1-x²)-(1-a²)|)<=rac(2N)
reste à montrer que pour deux valeurs z, t avec z>=t
rac(z-t)>=rac(z)-rac(t) ( pas diff )
on obtient
|f(x)-f(a)|<=rac(2N)
il suffit de choisir N< eps²/2

[ansset]

rac(|z-t|)>=|rac(z)-rac(t)| ( pas diff ) que l'on cherche à valider.

on peut supposer l'un sup à l'autre
donc ici z>=t par exemple
je le fais à l'envers avec z et t positifs
t<=rac(z)rac(t)
-2t >= -2rac(z)rac(t)
z-t>=z+t-2rac(z)rac(t)
z-t>=(rac(z)-rac(t))²
d'où
rac(|z-t|)>=|rac(z)-rac(t)|

[invitecb82f686]

D'accord, merci ansset ! J'ai été un peu occupée ces derniers temps, mais je vais prendre le temps de le refaire entièrement et proprement.