Prouver la surjectivité d'une fonction

invite828eca49 · 09/09/2012, 12h19

Bonjour,

je suis nouvelle sur le forum et je viens vous demander de l'aide car je bloque depuis un bon moment sur la démonstration de la surjectivité de l'application suivante :
$\text{[math]}$
Le but de l'exercice est de montrer que cette fonction est une bijection de R dans R^*₊.
J'ai réussi à montrer l'injectivité de cette fonction sans problème. Pour démontrer la subjectivité, j'ai essayé de résoudre, pour tout y de l'ensemble d'arrivée, l'équation $\text{[math]}$ d'inconnue x réelle.
Après passage à l'expronentielle, je trouve l'égalité : $\text{[math]}$ , et après rien à faire, j'ai beau essayer toute les techniques que je connais (changement de variables), je parviens pas à trouver la solution (pourtant d'après mon énoncé, il en existe une

).
Mon principal problème est que je n'arrive pas à exprimer x uniquement en fonction de y.
Voilà, si quelqu'un pouvez me donnez des pistes pour m'aider, ça me serait bien utile (surtout que j'ai un autre exercice où j'ai le même problème xd)
Merci d'avance!

**Médiat** · 09/09/2012, 12h49

Avec un petit changement de variable tout à fait naturel, vous obtenez une équation du 2nd degré dont le discriminant est positif ...

invite828eca49 · 09/09/2012, 12h55

Lorsque j'ai effectué mon changement de variables ( $\text{[math]}$ ) j'ai trouvé $\text{[math]}$ . Or si je ne me trompe pas, le discriminant est négatif donc ce n'est pas factorisable dans R?
Ou alors mon changement de variables n'est pas celui qui est naturel...

**Médiat** · 09/09/2012, 13h05

Envoyé par Klouchka

Lorsque j'ai effectué mon changement de variables ( $\text{[math]}$ ) j'ai trouvé $\text{[math]}$ . Or si je ne me trompe pas, le discriminant est négatif donc ce n'est pas factorisable dans R?
Ou alors mon changement de variables n'est pas celui qui est naturel...

Votre changement de variable est bon, pas votre "équation" (il en manque un bout).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite828eca49 · 09/09/2012, 13h34

Merci beaucoup pour votre réponse, je pense avoir compris la solution.
Après changement de variables, on a $\text{[math]}$
On calcule le discriminant de ce polynôme ce qui nous donne $\text{[math]}$ toujours positif car $\text{[math]}$
Ce qui nous permet d'avoir deux racines de X dont celle qui est positive est solution.
Est-ce que ce que je fait est correct?
Merci beaucoup pour votre temps.

**Médiat** · 09/09/2012, 14h02

Envoyé par Klouchka

$\text{[math]}$ toujours positif car $\text{[math]}$ .

Et comme une seule racine convient (une seule est positive), cela démontre aussi l'injectivité.

invite828eca49 · 09/09/2012, 14h16

Merci beaucoup pour votre aide

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