Prouver la (dis)continuité d'une fonction à plusieurs variables

[iroll754]

Bonjour,
J'ai besoin d'aide concernant la continuité de fonction à plusieurs variables. Je vous explique comment j'ai compris la chose:
Contrairement aux fonctions à une seule variable, lorsqu'on établit la limite d'une fonction de R^2 vers un point du plan (Cas d'une fonction de R^2 dans R) la fonction peut converger vers ce point suivant une infinité de "chemin' (courbes paramétrées).
Lorsque l'intuition nous dit que la fonction sera continue en ce point, on essaye d'encadrer sa valeur absolue par une fonction convergente.
Dans le cas ou l'intuition nous dis qu'elle sera discontinue en ce point, on suit ce que nous indique l'extrait de cours ci-dessous

"Pour démontrer qu’une fonction f de deux variables est discontinue en x0 ∈ R2 , il faut
exhiber deux directions particulières afin de trouver deux limites différentes selon ces di-
rections, ou encore, de parvenir à faire diverger la fonction selon une direction."

Les cas les plus simples de courbes paramétrés que j'ai trouvés sont les axes ( (x1,y1) -> (0,t) et (x2,y2) -> (t,0) ) et la première bissectrice (t,t) (Un gros manque de rigueur ici dans les notations, mais je pense que vous avez compris le principe)
On cherche les limites et des qu'on en trouve deux différentes, on a prouvé la discontinuité.

3 soucis se présente pour moi dans la démarche globale:

1) Avoir l'intuition

Fonction continue ou discontinue ? Je ne vois pas comment avoir cette intuition



2) Encadrement de fonction


Je n'arrive pas à encadrer la fonction. En effet, je ne vois pas comment le rédacteur du document à fait pour trouver l'enchaînement d'inégalités qui mène à la limite 0




3) Trouver la courbe paramétrées

Mises à part les courbe paramétrées simples (Axes, bissectrice), le gros problème vient pour moi lorsque les arc paramétrés sont plus compliqués. J'ai eu cet exercice:




La limite n'existe pas car la restriction de f a la courbe n'a pas de limite lorsque x -> 0 et y -> 0

Comment la personne a pu trouver cette restricition ? Je ne vois pas clairement la démarche.

Merci beaucoup pour avoir pris le temps de me lire et peut-être celui de me répondre !
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[invite1237a629]

Hello. Pour les inegalites il a utilise l inegalite triangulaire, suivi du fait que x et y sont au voisinage de (0,0), donc de valeurs assee petites qu on peut considerer inferieures a 1. D ou la deuxieme inegalite (entre autres simplifications).

Pour le parametrage, on cherche quelque chose qui simplifie. Donc ce serait bien qu au denominateur on n ait plus que x ou y. C est plus facile a manier. Donc on prend y=x qqch. Or pour montrer que c est indefini ce serait bien d avoir le degre de x au denominateur qui soit superieur au degre de x au numerateur. Sachant qu on ne garde que la puissance la plus petite au numerateur car les autres sont negligeables (x proche de 0). Donc on peut prendre y=x+x^n, n>3 et on aura du 1/x en limite, ou pire. On a en fait cherche un equivalent de la fonction de depart qui diverge sous certaines conditions.
Sinon en general quand tu ne vois pas de simplifications polynomiales a faire ca sent la divergence. Mais bon l intuition s acquiert avec de l entrainement