Même nombres d'éléments entre Z et N

[invite43a3d084]

Bonjour,

Comment prouver qu'il y a le même nombre d'éléments dans Z que dans N. Je sais qu'il y a une fonction bijective entre Z et N mais cela suffit à démontrer qu'il y a le même nombre d'élements dans les deux ensembles ?

Merci
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

il n'y a pas le même nombre d'éléments entre et tout simplement car ce "nombre" d'éléments n'a pas de réel sens. On peut naïvement dire qu'ils ont tous les deux un nombre infini d'éléments, mais qu'est-ce que l'infini ? En existe-t-il plusieurs ou alors chaque ensemble ayant une infinité d'éléments en possède une infinité de la même manière.

Pour répondre à ce genre de question hasardeuse sur les ensembles infinis, les mathématiciens ont tout simplement défini la notion d'équipotence. Deux ensembles sont équipotents s'ils sont en bijection. Après ils ont défini la notion de nombres cardinaux, et certains sur ce forum sont beaucoup plus spécialisé que moi dans ce domaine.

Pour et , il existe une bijection (assez évidente) donc ils sont équipotents. Ainsi on dira que est infini dénombrable car l'on peut dénombrer ses éléments, il y en a un premier, un deuxième, etc... tout cela grâce à la bijection que l'on a choisie précédemment.

De plus, on a aussi qui est infini dénombrable, ce qui est assez paradoxal.

En conclusion, on peut dire que et ont même nombre d'éléments, même si équipotent est largement plus précis, tout simplement car ils sont en bijection.

En espérant avoir répondu à ta question.

[invite43a3d084]

Je ne connaissais pas l'équipotence, je me renseignerais dessus. Oui cela me suffit très bien, merci à toi !

[CM63]

Bonjour,

Bonjour,

Comment prouver qu'il y a le même nombre d'éléments dans Z que dans N. Je sais qu'il y a une fonction bijective entre Z et N mais cela suffit à démontrer qu'il y a le même nombre d'élements dans les deux ensembles ?

Merci

Ben oui. Pour montrer que deux ensembles ont même cardinal, il suffit de pouvoir définir une bijection de ces deux ensembles.

A plus.

[A voir en vidéo sur Futura]