Comment utiliser un tenseur de rotation ( Deformation )

[Hawxyde]

Bonjour !
J'ai un cours de fluides, et dans ce cours, il est question de calculer la matrice de rotation d'un ecoulement.
Celui ci me donne :

(0 -y)
(y 0 )

Et j'aimerais savoir comment "l'utiliser" pour "visualiser" la deformation d'un petit cube centré sur l'origine par exemple !

Je crois avoir compris jusque la que , si la matrice de rotation est appeler A et que x est la position d'un point, alors A*x=x' , ou x' est la nouvelle position du point x ?
Mais le fait que il y ai des coordonnées dans y me pose du soucis..
Merci de vos réponse !
-----

[Resartus]

Si vous parlez de cube, je suppose qu'on est en 3D, et dans ce cas la matrice devrait être elle aussi à 3 dimensions. Mais on ne sait selon quel axe elle prend les valeurs indiquées
Il serait préférable de donner le texte exact de la question qui fournit peut-être d'autres indications? .

[Hawxyde]

Oh exact, c'est un carré, le flow est en deux dimensions

La question exacte est ( en anglais ) :
Indicate how a fluid element starting at a point at the symmetry axis
(x>0, y=0) deforms as it moves through the flow (assume that the fluid element is square
initially) by using the result from 2c.

Ou 2c. est ou on trouve la matrice de rotation ( et la matrice de deformation ausssi,qui est :

(-2x y )
(y 2x )

en passant )

[Resartus]

La matrice de rotation indiquée correspond à un angle t.q. theta=y (tant que y reste petit).
Par ailleurs, la matrice de déformation transforme le carré en un losange de même surface (puisque la trace est nulle), et avec un angle de cisaillement qui vaut également y. En combinant cisaillement et rotation, un petit dessin montre que les cotés verticaux de ce losange vont rester verticaux
On peut retrouver plus simplement ce résultat en voyant la matrice globale :
(-2x, 0)
(2y, 2x)
où les abscisses des déformées ne vont pas dépendre de y

Ceci dit, si on vous demande ce qui se passe au voisinage de y=0, il y a simplement compression selon l'axe x et dilatation selon l'axe y

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Oups. Ce n'est pas un losange mais un parallélepipède

[Hawxyde]

Merci de la réponse,
Mais il y a un point que je ne comprend pas, c'est le fait qu'un point d'un coté de l'axe x, se retrouve de l'autre coté apres deformation. ( Alors que vous dites qu'il est compresser sur x et dilater sur y, ce qui correspond bien a ce que je me fait de l'idée du flow )
Par exemple, le point ( 1, 1), en cosidérant que y est petit donc y=0 , ce se retrouvera en : ( -2,2). Il a " traverser " l'axe. Comment est ce possible ? Ou j'applique mal ?
Merci !

[Amanuensis]

La matrice de rotation indiquée

Ce n'est pas une matrice de rotation, mais une matrice liée à la dérivée (une matrice d'un élément de l'algèbre de Lie) en 0 par rapport à l'angle. Une matrice de rotation est obtenue au premier ordre en prenant Id + la matrice indiquée (tout comme on obtient une approximation au premier ordre de f(x) par f(0) + xf'(0)).

[Hawxyde]

Et concrètement, comment utiliser ces matrices pour visualiser la deformation d'un element ?

[Amanuensis]

De mémoire, erreurs possibles...

Les rotations correspondent à des non déformation (conservation du produit scalaire). Si on prend les transformations linéaires quelconques, la matrice étant ((1+a, b), (c, 1+d)), s'intéresser aux modifications infinitésimales près de l'identité revient à chercher à développer ((a, b), (c, d)) en différents termes ayant une signification particulière. Ce qui revient techniquement à choisir une base de l'algèbre de Lie ayant le sens recherché.

Usuellement on décompose en:

- un terme de rotation sans déformation, d'angle \theta

- un terme de changement de surface (dilatation) k,

- et un terme résiduel de déformation à surface égale

Question degrés de liberté, une transformation linéaire quelconque a 4 paramètres ; le terme de rotation et le terme de dilatation en prennent chacun un, il en reste deux pour la déformation à surface égale. Cette dernière transforme un cercle en ellipse de même aire, ce qui permet de comprendre les deux paramètres l'un comme la direction des axes principaux, et l'autre comme la variation d'excentricité. Ou encore de prendre comme base infinitésimale le cas des axes (x, y), soit ((1, 0), (0, -1)) et le cas des axes à 45°, soit ((0, 1),(1,0)).

La décomposition infinitésimale est alors

\theta((0, -1), (1, 0)) + k Id + g((1, 0), (0, -1)) + h ((0, 1),(1,0))

Cela donne comme approximation de M ((1+k+g, h-\theta),(h+\theta, 1+k-g))


----

En 3D le principe est le même. 9 paramètres pour une transformation linéaire quelconque, dont 1 pour la dilatation, 3 pour la rotation (2 pour l'axe, 1 pour l'angle) et 5 pour la déformation à volume égal (dont 2 pour fixer le premier axe, 1 pour fixer le deuxième axe, et 2 pour les facteurs de dilatation relative par axe avec la contrainte que la somme des trois vaut 0.

[Resartus]

Comme le signale fort justement amanuensis, j'aurai dû utiliser les termes "tenseur infinitésimal" de déformation et de rotation
Si on appelle X, Y les coordonnées cartésiennes d'un point quelconque ce qu'on peut écrire au premier ordre est que X',Y' cordonnées après déformation, sont les suivantes:
(X',Y)=[Id+FX].(X,Y)
le tenseur F qu'on appelle le gradient a pour termes les dérivées de la déformation par rapport aux coordonnées (ce n'est vrai qu'en coordonnées cartésiennes, mais c'est le cas ici.)

Ensuite, on prend la partie symétrique (tenseur infinitésimal de déformation) et la partie antisymétrique (tenseur infinitésimal de rotation).
Déformation et rotation effectives sont obtenues en multipliant ces tenseurs par (X,Y)
Pour rester dans l'approximation linéaire, on ne peut pas utiliser cette formule pour des X et Y trop grands.
Pour la visualisation des effets des diverses composantes, beaucoup de cours accessibles sur internet font malheureusement beaucoup de maths (il en faut) mais sans (assez de) dessins. Voyez par exemple si ceci peut vous aider :
http://www.normalesup.org/~clanglois...lide-notes.pdf

[Hawxyde]

Je vous remercie de vos deux réponse ! Tout cela est un peu plus clair.
La théorie commence a rentré, mais j'ai toujours un soucis a appliquer dans mon example.
En utilise votre définition des nouvelle coordonnées : ( (X',Y')=[Id+F].(X,Y) ) , je trouve toujours de drole de resultats, comme le point (1,0) qui est envoyé en ( -1 , 0 )

Voila mon calcul : Pour le point (1,0) le tenseur est :
(-2, 0)
(0, 2)

Multiplier par (1,0 ) et on additione (1,0) ( venant de l'indentité ) , on trouve ( -1 , 0 ). Cela ne correspond pas vraiment a la compression sur l'axe x, ou j'ai un probleme d'interpretation ?
Merci

[Amanuensis]

C'est une approximation au premier ordre, faut que la transformation soit proche de l'identité, par exemple une rotation d'un tout petit angle.

C'est comme constater que l'approximation de exp(x) = 1+x pour x proche de 0 est très fausse pour x=2 (e² = 7.4, pas vraiment égale à 3)

En prenant la matrice ((-0.001, 0),(0, 0.001)), le point (1, 0) est envoyé en (0.999, 0), ce qui est bien une compression dans l'axe des x.

[Hawxyde]

Effectivement !
Merci a vous pour cette aide ! C'est plus clair !