Bonjour à tous,

Voici un long passage d'un cours de géométrie complexe que je suis entrain de survoler :

Soient la projection naturelle : et .
La différentielle réelle : est surjective de noyau : l'espace tangent à la fibre : qui s'identifie à une droite propre : .
En complexifiant les espaces tangents et la différentielle, on obtient : .
Puisque : est holomorphe, envoie vers , on obtient ainsi une application - linéaire surjective : qui a pour noyau le sous espace complexe : .
On peut essayer de réaliser cette construction fibre par fibre afin d'obtenir un morphisme de fibrés : définie par : . Cette application n'est pas bien définie puisque, même si on a : , on obtient : . En revanche, en dérivant l'équation : , on obtient :, et en conséquence, on obtient : pour . D'où : a un comportement homogène de degré en .
On observe ainsi que l'application çi-dessus est bien définie en prenant le produit tensoriel du fibré trivial avec le fibré en droite .
On obtient ainsi une suite exacte impliquant le fibré tangent de .

Proposition : ( Suite exacte d'Euler )

Il existe une suite exacte de fibré holomorphe sur comme suit :

Preuve :


La première étape est de définir une suite d'Euler fibre par fibre.
Puisque la fibre de : sur un point est on a la fibre de sur est .
On définit ensuite : par : où : .
D'après ce qui précède, on voit que est surjective et que : si et seulement si : ou , c'est à dire, si et seulement si : . En d'autes termes, qui est la fibre sur du fibré : .
En réalisant cette construction fibre à fibre, on obtient un morphisme surjective : avec : .
Il est claire que : dépend holomorphiquement de , et donc est un morphisme de fibrés holomorphes et puisque : muni d'une structure holomorphe, on obtient ainsi la suite exacte évoqué dans la proposition.

Questions :

Ma question est de savoir pourquoi : si et seulement si : ou , si et seulement si : .

Merci d'avance.