Bonjour à tous,
Voici un long passage d'un cours de géométrie complexe que je suis entrain de survoler :
Soient la projection naturelle :et
.
La différentielle réelle :est surjective de noyau : l'espace tangent à la fibre :
qui s'identifie à une droite propre :
.
En complexifiant les espaces tangents et la différentielle, on obtient :.
Puisque :est holomorphe,
envoie
vers
, on obtient ainsi une application
- linéaire surjective :
qui a pour noyau le sous espace complexe :
.
On peut essayer de réaliser cette construction fibre par fibre afin d'obtenir un morphisme de fibrés :définie par :
. Cette application n'est pas bien définie puisque, même si on a :
, on obtient :
. En revanche, en dérivant l'équation :
, on obtient :
, et en conséquence, on obtient :
pour
. D'où :
a un comportement homogène de degré
en
.
On observe ainsi que l'application çi-dessus est bien définie en prenant le produit tensoriel du fibré trivial avec le fibré en droite.
On obtient ainsi une suite exacte impliquant le fibré tangent de.
Proposition : ( Suite exacte d'Euler )
Il existe une suite exacte de fibré holomorphe surcomme suit :
Preuve :
La première étape est de définir une suite d'Euler fibre par fibre.
Puisque la fibre de :sur un point
est
on a la fibre de
sur
est
.
On définit ensuite :par :
où :
.
D'après ce qui précède, on voit queest surjective et que :
si et seulement si :
ou
, c'est à dire, si et seulement si :
. En d'autes termes,
qui est la fibre sur
du fibré :
.
En réalisant cette construction fibre à fibre, on obtient un morphisme surjective :avec :
.
Il est claire que :dépend holomorphiquement de
, et donc
est un morphisme de fibrés holomorphes et puisque :
muni d'une structure holomorphe, on obtient ainsi la suite exacte évoqué dans la proposition.
Questions :
Ma question est de savoir pourquoi :si et seulement si :
ou
, si et seulement si :
.
Merci d'avance.
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