Suite exacte exponentielle

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

On définit la suite exacte exponentielle par :

avec : et est l'inclusion.
Pourriez vous m'expliquer comment on définit sa suite exacte exacte longue :

C'est à dire comment sont définies : et et avec : et comment on les obtient en détail ?.

Merci infiniment.
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[invite93e0873f]

Bonsoir,

Bonsoir à tous,

On définit la suite exacte exponentielle par :

avec : et est l'inclusion.
Pourriez vous m'expliquer comment on définit sa suite exacte exacte longue :

C'est à dire comment sont définies : et et avec : et comment on les obtient en détail ?.

Merci infiniment.

C'est un cas de cohomologie avec coefficients. Le complexe de cochaînes est la cohomologie d'un certain complexe de cochaînes .

La suite exacte donne lieu à une suite exacte de complexes de cochaînes



(le foncteur est covariant, contrairement à )

Il suffit d'appliquer le théorème fondamental de l'algèbre homologique afin d'obtenir une longue suite exacte, à savoir celle donnée dans la question. En particulier, les applications sont les connectants (les morphismes de Bockstein).

Je ne saurais pas écrire explicitement les éléments bien précis à ce problème, mais je m'attaquerais à cette tâche en décortiquant la procédure générale ci-dessus.

[invitecbade190]

Merci beaucoup pour cette réponse @Universus.
Saurais tu me décrire comment sont définit les et dans ta suite exacte : pour que je vois plus claire ?
Merci infiniment.

[invite93e0873f]

Merci beaucoup pour cette réponse @Universus.
Saurais tu me décrire comment sont définit les et dans ta suite exacte : pour que je vois plus claire ?
Merci infiniment.

En ce qui a trait aux cochaînes de Čech, l'interprétation des morphismes et est assez directe. Par définition, , la limite inductive étant prise sur l'ensemble des recouvrements ouverts de . Ainsi, un élément de est représenté par un élément d'un certain (et donc plusieurs) . Un tel élément n'est qu'une fonction de la réunion disjointe des ouverts de vers ; changer d'ensemble de coefficients, ce n'est que modifier les valeurs de ces fonctions en post-composant.

Par exemple, si , il s'agit d'une fonction attribuant à chaque ouvert un entier . Ainsi, n'est que la fonction attribuant à chaque ouvert le nombre complexe , qui n'est ici que l'entier lui-même.

Il est plus difficile d'interpréter les morphismes induits par et par en cohomologie, puisque cela demande de mieux saisir comment sont liés les cocycles et les cobords de Čech dans deux ensembles de coefficients. En fait, les morphismes et envoient des cocycles sur des cocycles et des cobords sur des cobords, ce qui se comprend bien, mais ils peuvent aussi envoyer certains cocycles (qui ne sont pas des cobords) sur des cobords et ça, c'est plus subtil à « traquer ».

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Merci pour ces précisions @Universus.