Bonjour, je bloque sur l'exo :
Montrer que si u est un endomorphisme d' un espace euclidien E, vérifiant qq soit x dans E <u(x)|x> = 0 alors
Ker (u) = Im (u) _|_ (orthogonal) . Exemple en dimension 2 ? Réciproque vraie ?
Ker (u) inclus dans Im(u) _|_ est évident ( <0|y> =0 qq soit y)
L'autre inclusion me pose problème:
Soit x appartient à Im(u) _|_ . Alors qq soit y dans E < x | u(y) > = 0
En particulier par hypothèse < x | u(x) > = 0
Mais comment en déduit-t-on que u(x) =0 et donc x appartient à Ker (u) ? je sèche ...
Exemple en dimension 2 : rotation d'angle Pi/2 ? Im(u) = E mais Ker u = {o}...
La réciproque est fausse. Contre ex: projecteur orthogonal.
Merci !
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