Endomorphisme et produit scalaire

[benjgru]

Bonjour, je bloque sur l'exo :

Montrer que si u est un endomorphisme d' un espace euclidien E, vérifiant qq soit x dans E <u(x)|x> = 0 alors
Ker (u) = Im (u) _|_ (orthogonal) . Exemple en dimension 2 ? Réciproque vraie ?

Ker (u) inclus dans Im(u) _|_ est évident ( <0|y> =0 qq soit y)

L'autre inclusion me pose problème:
Soit x appartient à Im(u) _|_ . Alors qq soit y dans E < x | u(y) > = 0
En particulier par hypothèse < x | u(x) > = 0

Mais comment en déduit-t-on que u(x) =0 et donc x appartient à Ker (u) ? je sèche ...

Exemple en dimension 2 : rotation d'angle Pi/2 ? Im(u) = E mais Ker u = {o}...
La réciproque est fausse. Contre ex: projecteur orthogonal.

Merci !
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Lorsqu'on souhaite montrer l'égalité de deux sous-espaces vectoriels, il est typique qu'une inclusion soit aisée à obtenir, mais pas l'autre. Or, il y a un élément crucial qui vient à la rescousse : la dimension (finie).

En effet, puisque est de dimension finie (disons ), alors

1) pour tout endomorphisme , ;

2) pour tout sous-espace vectoriel , .

Avec ces deux faits et l'inclusion , vous devriez conclure rapidement.

[invitee0fcad7a]

Ton raisonnement concernant la première inclusion n'est pas valable, je te laisse deviner pourquoi

Je ne sais pas s'il y a plus simple mais voici une réponse

: Soit , on veut montrer que

en utilisant l'hypothèse sur u. Puis avec u(x)=0 on a



: Maintenant, soit , on veut montrer u(x)=0


D'autre part, on voit que
parce que

En additionnant avec l'égalité précédente on arrive à
pour tout y


Dernier point, ton contrexemple n'en est pas un puisqu'il ne vérifie pas

[invitee0fcad7a]

Autre commentaire

au départ j'ai pensé que l'énoncé était faux, parce que je me suis rappelé l'égalité générale pour les opérateurs bornés dans les espaces de Hilbert



celle la est en fait plus facile à démontrer

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Bien vu Noix010. Cependant,

Dernier point, ton contrexemple n'en est pas un puisqu'il ne vérifie pas

je pense au contraire que c'est un bon contre-exemple, la réciproque étant : si est un endomorphisme d'un espace euclidien E vérifiant , alors pour tout . (bref, je pense qu'il faut garder l'hypothèse d'endomorphisme, bien qu'on puisse généraliser)

[benjgru]

Merci à vous 2. L'énoncé ne précise pas si l'on est en dimension finie ou non, mais je pense que c'est implicite.
Est-ce que l'exemple en dimension 2 de la rotation d'angle Pi/2 est un bon exemple ? je ne crois pas car dans ce cas Im(u) _|_ = E différent de Ker (u)=0..
Mais alors quel exemple donner ?

@Noix010: pourquoi mon premier raisonnement n'est pas valable ? je ne comprends pas . Merci !

[benjgru]

@Noix010: pour l'inclusion réciproque : tu arrives à < u(x) | y = 0> qq soit y et si j'ai bien compris tu en déduis que u(x)= 0 ?
Moi j'en déduis que y appartient à Im(u)_|_ mais après... ?

[invitee0fcad7a]

Effectivement le contrexample de la réciproque est bon.

La rotation est très bien aussi puisque l'orthogonal de E=Im(u) est bien 0=Ker(u).

Bon, je te donne la réponse (mais par expérience, je sais qu'on fait toujours les même erreurs même quand on comprend, alors fait gaffe.)

Tu veux montrer que est aussi dans l'orthogonal de l'image: cela signifierait


Or ce que tu as écrit

<0|y> =0 qq soit y

ne permet pas de répondre.


Pour le dernier message il faut faire attention à ce qui est quantifié: c'est "x fixé" et "pour tout y" pas l'inverse.

[benjgru]

OK merci pour tout Noix10.