Endomorphisme symétrique ; produit scalaire ; forme quadratique

[invitec0d99b5a]

Bonjour à tous,

Je bloque sur la troisième partie d'un exercice d'algèbre. Voici l'énoncé :
On se place dans Rⁿ muni du produit scalaire canonique. Soit a un vecteur normé de Rⁿ ; on définit alors l'application f par : ∀ x ∈ Rⁿ, f(x)=x+2<x,a>.a
1. Montrer que f est un endomorphisme symétrique de Rⁿ.
2. Déterminer ses valeurs propres et les sous-espaces propres correspondants.
3. Définir la forme quadratique q associée à f. En étudier le signe.
---
Alors pour la question 1, j'ai réglé le compte de l'endomorphisme, par contre je n'arrive pas à montrer qu'il est symétrique... il faut pourtant bien montrer que : ∀ x,y∈Rⁿ, <f(x),y>=<y,f(x)>
Besoin d'aide ici

Merci d'avance, bonne journée.
-----

[invitec0d99b5a]

Je me rends compte que je me suis trompé au niveau de la symétrie... c'est bien <f(x),y>=<x,f(y)> qu'il faut montrer, erreur de frappe désolé.
Et j'ai pas trouvé la fonction éditer...

[invite57a1e779]

f(x)=x+2<x,a>.a

Il me semble que : <f(x),y>=<x,y>+2<x,a>.<a,y>.
Cette expression est parfaitement symétrique en x et y, et on doit y reconnaître <x,f(y)>.

[invitec0d99b5a]

Ok merci, j'avais fini par trouver.

Par contre je n'arrive pas à trouver les v.p et vecteurs propres :s

J'ai noté :
Lambda réel est v.p de f ssi il existe x non nul dans E tq f(x)=lambda*x
ssi lambda=1+2a^2 (=> et là je ne suis pas du tout sûr, plutôt l'habitude de travailler dans des matrices).
Ensuite les vecteurs propres je vois pas :/

Merci si qqun peut m'éclairer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

f(x)=x+2<x,a>.a

Un vecteur est vecteur propre associé à la valeur propre si, et seulement si :

et , c'est-à-dire :

et , ce qui conduit à discuter suivant que et sont libres ou liés.