Dimensions autorisées pour un espace de Banach

**Seirios** · 26/12/2010, 15h54

Bonjour à tous,

On sait qu'un espace de Banach ne peut pas être de dimension dénombrable, mais existe-t-il d'autres restrictions ?

Déjà, un espace vectoriel normé de dimension finie peut être complet, il suffit de considérer les $\text{[math]}$ , il peut également être de dimension $\text{[math]}$ , comme $\text{[math]}$ (les fonctions continues bornées).

Que pourriez-vous me dire de plus sur le sujet ?

Merci d'avance,
Phys2

invite4ef352d8 · 26/12/2010, 19h37

Salut !

Si on crois en l'hypothèse du continu, alors tout les cardinaux autres que l'infini dénombrable sont possible :
si K est un ensemble de cardinal au moins le cardinal de R alors, L^2(K) est un espace de hilbert de dimension card(K).

le théorème de Baire permet de prouver qu'un espace de banach ne peut pas être de dimension infini dénombrable.

en revanche, pour ce qui est des cardinaux entre le dénombrable et le cardinal de R, alors là je ne sais pas trop comment les traiter...

**Seirios** · 27/12/2010, 10h52

Que représente $\text{[math]}$ ? (il me semble avoir déjà vu cette notation quelque part, mais je n'arrive plus à me souvenir où)

invite31e49e9a · 27/12/2010, 12h10

Salut,
C'est l'espace des fonction à carré sommable.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_sommable

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite986312212 · 27/12/2010, 13h31

Envoyé par Espace-Temps

C'est l'espace des fonction à carré sommable.

c'est un chouïa plus compliqué: il s'agit en fait de l'espace des classes d'équivalence de fonctions, où deux fonctions sont équivalentes si l'intégrale du carré de leur différence est nulle. Ceci parce qu'on veut qu'une fonction de norme nulle soit effectivement partout nulle (et pas seulement presque partout).

invitea07f6506 · 27/12/2010, 13h46

Je me pose quelques questions, par rapport au message de Ksilver.
* Quelle est la mesure utilisée pour définir $\text{[math]}$ ? Je suppose que c'est la mesure de comptage, étant donné que je ne vois pas d'autre mesure canonique sans disposer de plus de structure, mais j'aimerais en avoir confirmation.
* Dans ce cas, tu es certain qu'il existe une base algébrique de cardinal $\text{[math]}$ ? Si c'est le cas, j'aimerais savoir d'où vient le résultat, car il me semble contre-intuitif (j'aurais bêtement pensé que le cardinal d'une telle base devait être de $\text{[math]}$ , ou quelque chose de ce genre).

Merci d'avance.

invite4ef352d8 · 27/12/2010, 17h33

Bonsoir à tous !

quand je parle de L^2(K) pour K un ensemble quelconque, il fallait comprendre :

l'espace des fonctions de K->R tel que "somme pour x dans K de |f(x)|² est fini", ie on met sur K la mesure de comptage. et du coup, pas bessoin de parler de classes d'équivalence de quoique ce soit, c'est bien Espace temps qui avait raison

le fais que la dimension est card(K) (si K à au moins le cardinal de R, et card R ou fini sinon) viens du fait que tout elements de L^2(K) appartiens à L^2(D) pour une certain partie dénombrable D de K. L^2(D) étant de dimension card(R) on s'en sors assez bien ensuite : L^2(K) s'ecrit comme une réunion filtrante d'espace de dimension card(R) indéxé par les partie dénombrables de K... il faut ensuite faire un tout petit peu de théorie de la dimension en dimension infinie et de théorie des cardinaux pour conclure, mais c'est relativement claire...

invite986312212 · 27/12/2010, 20h35

es-tu sûr que ce L^2(K) est complet? en général on suppose que la mesure est sigma-finie, ce qui n'est pas le cas de la mesure de comptage dès lors que K n'est pas dénombrable. Par contre je ne sais pas si c'est une cns ou si c'est juste par commodité qu'on fait cette hypothèse.

invite4ef352d8 · 27/12/2010, 20h52

Ca ne pose aucun problème : quand on prend une suite de cauchy, chaque therme a un support dénombrable, et la réunion de tout les support est une réunion dénombrable d'ensemble dénombrable donc est encore dénombrable, et donc la suite appartiens à un sous L^2(D) qui est complet, et donc est convergente...

Ceci, tu es sur que la complétude de L^2(X) pour X un espace mesuré n'est pas automatique ? dans mes souvenir c'est pas pour la complétude qu'on avait besoin de la sigma finitude ? bon cela, dit c'est un sujet que je maitrise très mal...

**Arkhnor** · 28/12/2010, 08h02

Bonjour.

Les espaces $\text{[math]}$ sont toujours complets. (Riesz-Fischer)

invite30f06b89 · 28/12/2010, 11h38

C'est même un des buts de la théorie de la mesure.

invite30f06b89 · 28/12/2010, 11h45

Par contre je ne comprends rien à ses histoires de cardinaux mais le L^2 d'un espace non dénombrable muni de sa mesure de comptage est nécessairement un espace très pauvre (si l'ensemble est fini on a juste un e.v. de dimension finie,si dénombrable on a les suites de carré sommable, si isomorphe à R par exemple alors on a toujours essentiellement que des suites dedans, en particulier tout ouvert est de mesure infini donc contient très peu d'information)

p.s. désolé pour le double post problème d'édition

**Seirios** · 28/12/2010, 13h20

Envoyé par Arkhnor

Les espaces $\text{[math]}$ sont toujours complets. (Riesz-Fischer)

D'après wikipédia, il est possible d'introduire cet ensemble dans la théorie de Riemann via une complétion. Quelqu'un pourrait m'en dire plus ?

Pendant que j'y suis, j'ai trouvé une démonstration que je ne connaissais pas pour montrer qu'un espace de Banach ne peut pas être de dimension dénombrable : http://citron.9grid.fr/docs/completude.pdf (dernière page), et j'ai juste un problème sur l'inégalité finale : comment montre-t-on que $\text{[math]}$ ?

Si vous avez d'autres démonstrations de ce résultat (autres que celle qui se trouve dans le lien et celle utilisant le théorème de Baire), je suis également preneur.

invitec317278e · 28/12/2010, 13h36

j'ai juste un problème sur l'inégalité finale

Sauf erreur il s'agit juste du fait que $\text{[math]}$ d'où on tire que pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
puis on somme et on décale les indices à droite

**Seirios** · 28/12/2010, 13h41

Oui, bien sûr, j'essayais d'appliquer $\text{[math]}$ ...Merci

**Arkhnor** · 28/12/2010, 16h45

D'après wikipédia, il est possible d'introduire cet ensemble dans la théorie de Riemann via une complétion. Quelqu'un pourrait m'en dire plus ?

Bah, ça dépend quand même de quel espace mesuré on considère. Si c'est un espace mesuré quelconque, on a aucun moyen de le construire à partir de l'intégrale de Riemann, qui n'est même pas définie ...

En revanche, sur [0,1] muni de la mesure de Lebesgue (par exemple), on peut montrer que $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ . (avec $\text{[math]}$ évidemment)
Cela suggère une définition alternative de l'espace $\text{[math]}$ : on le considère comme un complété abstrait de $\text{[math]}$ , muni de la norme $\text{[math]}$

Mais bon, c'est de la pédagogie à deux sous, car personne ne fait comme ça en réalité. Tout le monde définit les espaces $\text{[math]}$ comme l'ensemble des fonctions mesurables, de puissance p-ième $\text{[math]}$ -intégrables, modulo les fonctions nulles $\text{[math]}$ -presque partout, et ensuite on montre les théorèmes de densité, lorsqu'on a des hypothèses topologiques supplémentaires sur l'espace mesuré.

Vouloir absolument définir les espaces $\text{[math]}$ avant d'avoir vu la théorie de la mesure, c'est un peu mettre la charrue avant les boeufs ...

**Seirios** · 28/12/2010, 22h08

Envoyé par Arkhnor

Vouloir absolument définir les espaces $\text{[math]}$ avant d'avoir vu la théorie de la mesure, c'est un peu mettre la charrue avant les boeufs ...

C'est bien ce que je vois ; y a-t-il un autre exemple d'espaces de Banach de dimension infinie qui pourrait répondre à ma question ?

**Arkhnor** · 29/12/2010, 08h14

Quelle question ?
Si tu n'as pas à ta disposition la théorie de la mesure, tu peux quand même construire les espaces $\text{[math]}$ suggérés par Ksilver, c'est-à-dire ceux correspondants à la mesure de comptage.

Il s'agit des familles $\text{[math]}$ de réels de puissance p-ième sommables. Pour définir ces objets, tu n'as pas besoin de l'intégrale de Lebesgue, juste des familles sommables. (et en fait, juste des familles sommables de réels positifs, puisque tu as juste besoin de savoir définir $\text{[math]}$ , que l'on peut définir comme étant le suprémum sur les sommes finies)

invitec7c23c92 · 29/12/2010, 09h38

Bonjour,

Une base (algébrique) d'un espace de Banach de dimension infinie a au moins la puissance du continu. On peut même ajouter qu'une telle base a le même cardinal que l'espace tout entier.

Source : ce papier -> user.math.uzh.ch/halbeisen/publications/psf/hamel.ps

invite4ef352d8 · 29/12/2010, 11h56

(edit, faut que je rerefléchisse ^^)

**Seirios** · 29/12/2010, 12h26

Envoyé par Arkhnor

Si tu n'as pas à ta disposition la théorie de la mesure, tu peux quand même construire les espaces $\text{[math]}$ suggérés par Ksilver, c'est-à-dire ceux correspondants à la mesure de comptage.

Il s'agit des familles $\text{[math]}$ de réels de puissance p-ième sommables. Pour définir ces objets, tu n'as pas besoin de l'intégrale de Lebesgue, juste des familles sommables. (et en fait, juste des familles sommables de réels positifs, puisque tu as juste besoin de savoir définir $\text{[math]}$ , que l'on peut définir comme étant le suprémum sur les sommes finies)

Comment définis-tu les suites de Cauchy sur $\text{[math]}$ ? Si j'ai bien suivi, $\text{[math]}$ est le sous-ensemble de $\text{[math]}$ (ou $\text{[math]}$ , cela ne doit pas changer grand chose) des familles p-sommables ; y a-t-il certaines contraintes sur K ou est-ce un ensemble quelconque ? (notamment pour la définition des suites de Cauchy)

Envoyé par telchar

Une base (algébrique) d'un espace de Banach de dimension infinie a au moins la puissance du continu. On peut même ajouter qu'une telle base a le même cardinal que l'espace tout entier.

Source : ce papier -> user.math.uzh.ch/halbeisen/publications/psf/hamel.ps

Merci pour cette référence, je vais y jeter un coup d'oeil.

Sinon, le même document, mais en pdf : http://user.math.uzh.ch/halbeisen/pu.../pdf/hamel.pdf

**Arkhnor** · 29/12/2010, 16h56

Comment définis-tu les suites de Cauchy sur $l^p(K)$ ?

On munit $\text{[math]}$ d'une norme : la norme de la famille $\text{[math]}$ est donnée par $\text{[math]}$ .
Je ne l'ai pas dit dans mon dernier post, car ça me semblait vraiment naturel.

J'espère quand même que tu as rencontré des espaces "standards" comme par exemple $\text{[math]}$ .
Si ce n'est pas le cas, ça voudrait dire qu'au fond, tu ne connais aucun espaces normé de dimension infinie, hormis l'espace des fonctions continues, ce qui est un peu paradoxal pour quelqu'un qui se pose des questions sophistiquées sur la dimension d'un evn ...

**Seirios** · 29/12/2010, 22h35

Envoyé par Arkhnor

On munit $\text{[math]}$ d'une norme : la norme de la famille $\text{[math]}$ est donnée par $\text{[math]}$ .
Je ne l'ai pas dit dans mon dernier post, car ça me semblait vraiment naturel.

C'est bien ce que j'avais compris, mais j'ai interchangé les indices sur K et sur $\text{[math]}$ , donc je trouvais des expressions dénuées de sens...

J'ai tout repris depuis le début, et voilà où j'en suis : on montre facilement que $\text{[math]}$ est un sous-espace vectoriel de $\text{[math]}$ via l'inégalité de Minkowski, et on vérifie que $\text{[math]}$ définie bien une norme.

Ensuite, on vérifie que $\text{[math]}$ est complet : soit $\text{[math]}$ une suite de Cauchy de $\text{[math]}$ ; alors $\text{[math]}$ est de Cauchy, donc elle converge ( $\text{[math]}$ étant complet), notons $\text{[math]}$ cette limite.
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ implique $\text{[math]}$ . Pour toute partie finie J de K, on a donc $\text{[math]}$ , d'où en faisant tendre r vers l'infini, $\text{[math]}$ ; cette expression étant vraie pour toute partie J, on en déduit $\text{[math]}$ , ce qui permet de vérifier que $\text{[math]}$ appartient bien à $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ , c'est-à-dire que notre suite de Cauchy converge dans $\text{[math]}$ .

Il faut ensuite déterminer la dimension de $\text{[math]}$ : on a $\text{[math]}$ , en notant $\text{[math]}$ le cardinal de K, que l'on suppose infini. De plus, $\text{[math]}$ .
Comme $\text{[math]}$ , on en déduit $\text{[math]}$ .

Mais je n'ai pas trouvé d'égalité ; dans le cas $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , donc je pencherais pour $\text{[math]}$ , mais je n'ai pas encore réussi à le montrer.

Vous avez une idée ?

**Seirios** · 02/01/2011, 08h07

Personne pour la dimension de $\text{[math]}$ ?

invite4ef352d8 · 02/01/2011, 13h49

non c'est exactement comme pour l^2 discuté plus haut : si K a un cardinal inférieur à celui de R, L^2(K) a pour cardinal le cardinal de R, si K a un cardinal superieur à celui de R l^2(K) a le même cardinal que K... les argument on été donné plus haut...

**Seirios** · 02/01/2011, 22h01

Désolé, je n'avais pas fait attention...

En me basant donc sur ce qui a été dit, voilà ce que j'ai écrit : $\text{[math]}$ ; or $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (en supposant $\text{[math]}$ ). De plus, $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .

Or $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Sinon, existe-t-il des espaces vectoriels normés qui ne sont pas complets pour tout cardinal $\text{[math]}$ ?

invite986312212 · 02/01/2011, 22h21

en prenant des espaces vectoriels sur le corps des rationnels, on doit être à peu près sûr d'obtenir des choses non complètes.

invitec7c23c92 · 02/01/2011, 22h21

Bonsoir,
Il suffit de prendre le produit d'un espace complet du cardinal voulu, et de R[X].

**Seirios** · 03/01/2011, 07h30

Effectivement, j'aurais dû y penser...Merci

**Seirios** · 27/01/2011, 09h41

Envoyé par telchar

Une base (algébrique) d'un espace de Banach de dimension infinie a au moins la puissance du continu.

Source : ce papier -> user.math.uzh.ch/halbeisen/publications/psf/hamel.ps

Je voudrais revenir sur ce résultat : j'ai lu qu'il y avait des preuves "élémentaires" dans les papiers suivants :

H. Elton Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. 80 (1973), 298.

N.-K.Tsing: Infinite-dimensional Banach spaces must have uncountable basis - an elementary proof. The American Mathematical Monthly 91 (1984), 505-506

Mais je n'ai pas accès à ces articles ; savez-vous si les démonstrations sont semblables à celle de la référence donnée par telchar ?

Dimensions autorisées pour un espace de Banach

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