Egalité de sous espaces vectoriels

[invite006fe9ed]

Bonjour, voici l'énoncé:

Soient E et F les sous ev de R^3 engendrés respectivement par les vecteurs {(2,3,-1);(1,-1,-2)} et {(3,7,0);(5,0,-7)}. Montrer que E et F sont égaux.


DOnc je pense qu'il faut montrer que les vecteurs engendrant E s'écrivent comme combinaison linéaire des vecteurs engendrant F mais je vois pas trop comment. Doit on sommer les vecteurs de chaque côtés, les soustraire, les multiplier ??
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[invite332de63a]

Bonjour, tout d'abord il n'y a pas de multiplication mais de multiplication par un scalaire ce qui n'est pas la même chose.

Alors il faut que tu montres que (2,3,-1) et (1,-1,-2) peuvent s'écrire sur {(3,7,0);(5,0,-7)}

Par exemple il faut que tu montres que il existe a et b tels que

(2,3,-1)=a.(3,7,0)+b.(5,0,-7) et pareil pour l'autre.
Ce qui te montre que E est inclu dans F et
Ensuite tu dis que les deux vecteurs de E sont non liés (car non multiple l'un de l'autre)et tu conclu avec dim E=dim F donc E=F (car E inclu dans F)

RoBeRTo