centre d'un groupe

[invite86aca429]

bonjour

soit (G;.) un groupe on appelle centre de G la partie C de G definie par C={x appartient à G tel que pour tout y de G on a xy=yx) démontrer que C est un sous groupe de G.

on a 1.x=x.1=x avec x de G donc C n'est pas vide et contient le neutre.soient x1 x2 dans C et soit y dans G regardons x1.x2.y=x1.y.x2 car x2 dans C et x1.x2.y=y.x1.x2

donc x1.x2 appartient à C.soit x dans C et un y dans G alors x'y=yx' d'où xx'y=xyx' donc y=xyx' donc yx=xy donc x' est le symetrique de x dans C. donc C est un sous groupe de G

est ce correct?

cordialement


azazel
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[Seirios]

Bonjour,

Ce passage me paraît obscur :

soit x dans C et un y dans G alors x'y=yx' d'où xx'y=xyx' donc y=xyx' donc yx=xy donc x' est le symetrique de x dans C. donc C est un sous groupe de G

Si j'ai bien compris, x' correspond à , et tu souhaites montrer que implique . Seulement, ton raisonnement montre que implique .

[invite86aca429]

oui j'ai mal formulé considérons x dans C et montrons que x' est dans C.considerons un element quelconque y appartien à G et on a x'y=yx' puis xx'y=xyx'puis y=xyx' d'où yx=xy donc x' est dans C

[Seirios]

Ton raisonnement ne peut pas être correct : tu veux montrer que , et tu commences par supposer que tu as pour tout . Tu supposes précisément ce que tu souhaites démontrer !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

On suppose qu'il existe 2 symétriques et on va aboutir à une contradiction .soit x' et x" 2 symétriques de C alors on a xx'=x'x=e et xx"=x"x=e donc x'=x" donc le symétrique de x noté x' est dans C

[invite86aca429]

alors je pense que jonh35 a raison

[invite86aca429]

j'ai compris soit x appartient à C pour a appartient à G x'a=(a'x)'=(xa')'=ax' donc x' est dans C c'est le symetrique de x

[Seirios]

On suppose qu'il existe 2 symétriques et on va aboutir à une contradiction .soit x' et x" 2 symétriques de C alors on a xx'=x'x=e et xx"=x"x=e donc x'=x" donc le symétrique de x noté x' est dans C

Qu'est-ce que tu cherches à montrer exactement ? On sait déjà que tout élément admet un unique inverse dans un groupe, donc on sait a fortiori qu'un élément admettra au plus un inverse dans tout sous-ensemble.

j'ai compris soit x appartient à C pour a appartient à G x'a=(a'x)'=(xa')'=ax' donc x' est dans C c'est le symetrique de x

Cela me semble correct.