Vecteur et matrice : interrogation
Bonjour,
Je sais ce qu'est un vecteur. De même une matrice. Les composantes sont généralement des scalaires ou des fonctions. Mais existe t-il des vecteurs de vecteurs et plus généralement des matrices de vecteurs et des opérateurs avec et entre ces objets ?
Merci
Tout ce que tu peux définir rigoureusement existe. La question c'est plus "est ce que ça a un intérêt"
Ce qui est sur c'est que des matrices à coefficients dans un anneau A, ça existe et ça a un intérêt (ça permet de représenter les applications entre A-modules)
Re : Vecteur et matrice : interrogation
Merci pour la ficelle.
L'intérêt n'est pas tant dans l'utilité conceptuelle d'une chose mais dans l'utilisation concrète que l'on en fait.
Je vais découvrir cette notion d'anneau-module que je ne connais pas, et je retiens pour cela que tout peut exister dès lors que l'on s'en donne les moyens.
Si d'autres ficelles existent, je suis preneur.
Une matrice de vecteurs sur un corps K serait une suite d'éléments de K indexée par des triplets (i,j,k): ce qu'en statistiques on appelle parfois "cube de données", ou "tableau à trois indices". Ca pourrait décrire une application bilinéaire d'un produit d'espaces ExF dans un espace G, ou bien une applicaiton linéaire d'un espace E dans un produit FxG. Mais en fait ce n'est pas utile et les matrices "à deux indices" suffisent.
Re : Vecteur et matrice : interrogation
Bonjour,
je consulte des cours que j'ai récupéré de divers horizons sur les anneaux modules pour essayer de comprendre ces objets.
Il y a une notion qui me laisse interrogatif. C'est celle de A-module à gauche et à droite.
Si j'ai compris :
- soient a et b deux éléments d'un anneau A
- soient m et m' deux éléments d'un ensemble M muni de deux lois de composition + et x telles que (M,+) est un groupe abélien et les 4 axiomes suivants sont respectés:
1) a x (m + m') = a x m + a x m'
2) (a + b) x m = a x m + b x m la loi + du membre de gauche est celle de l'anneau A et la loi + du membre de droite est celle du groupe M
3) (a . b) x m = a x (b x m) . est la loi multiplicative interne à A
4) 1 x m = m
Certains cours exposent qu'un A-module à gauche est défini avec l'axiome 3) alors qu'un A-module à droite est défini avec l'axiome 3) remplacé par a x (b x m) = (a . b) x m (je ne vois pas très bien la différence entre les deux écritures, mais passons).
D'autres cours exposent un A-module à gauche comme un placement à gauche, dans la loi externe, des éléments de l'anneau A dans les axiomes définissant ce qu'est un A-module à gauche (les 4 axiomes ci-dessus), et un A-module à droite comme un placement à droite, dans la loi externe, des éléments de l'anneau A dans les mêmes axiomes, soit :
1) (m + m') x a = m x a + m' x a
2) m x (a + b) = m x a + m x b la loi + du membre de gauche est celle de l'anneau A et la loi + du membre de droite est celle du groupe M
3) m x (a . b) = (m x a) x b . est la loi multiplicative interne à A
4) m x 1 = m
Ce qui est complètement différent et ce d'autant plus si la loi externe x n'est pas commutative.
Quelle est la bonne définition ?
Merci beaucoup
La deuxième. Et effectivement, il n'y a aucune différence entre (a . b) x m = a x (b x m) et a x (b x m) = (a . b) x m
Sinon, cette notion de A-module à gauche/à droite n'a pas grand intérêt (un peu comme dans le cas des actions de groupe) : en pratique on n'utilise que des A-modules à gauche, car on peut très facilement transformer un A module à droite en un A module à gauche
Re : Vecteur et matrice : interrogation
Merci
ça confirme ce que je pensais.
Je poursuis l'apprentissage.
