Colinéarité de deux vecteurs

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer?

J'aimerais prouver que si j'ai deux vecteur et positif qui vérifient:
où est le vecteur avec des zéro partout et un 1 à la jieme position alors nécessairement
et sont colinéaire.

Pour cela, j'ai essayé de revenir à la définition d'un ensemble colinéaire en montrant qu'il existe un coefficient non nul pour une combinaison linéaire valant 0.

Mais cela n'aboutit pas vraiment.

Quelqu'un pourrait t'il m'aider.


Merci d'avance
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[Kairn]

S'il faut comprendre "vecteur positif" comme "vecteur dont toutes les composantes sont positives", alors l'égalité te renseigne énormément sur pas mal de composantes de et .

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

merci pour la réponse, oui en effet en sait en dehors de la composante j, tout le monde est nul, mais c'est précisément la jieme composante qui me pose problème

[invitef29758b5]

Salut
Si x1 et x2 sont colinéaires , leur somme est colinéaire à chacun d' eux

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kairn]

Donc tu as un truc du genre et . Est ce qu'il n'y a pas une combinaison linéaire évidente qui fait 0 ?

[invite5ffffaa4]

La seule combinaison lineaire que je vois c'est et effectivement ça fait 0, mais ce n'est pas ce que je voulais démontrer.

Cela signifie donc que l'assertion du départ est fausse?

[CM63]

Bonjour,

Si la somme de deux vecteurs est égale à un vecteur de base, cela n'implique pas que les deux vecteurs soient colinéaires. Par exemple:
x1=(i+j)/2
x2=(i-j)/2
x1+x2=i alors que x1 et x2 ne sont pas colinéaires.

[invitef29758b5]

x2=(i-j)/2
.

Toutes les composantes sont positives .
Ce qui donne
a_i+b_i = 0 => a_i = b_i = 0
Sauf pour j
a_j+b_j = 1

[Kairn]

C'est juste CM63, mais on demande ici que les vecteurs soient positifs, ce qui n'est pas le cas de (i-j)/2 .

Bagnolet, résous donc a+xb=0 d'inconnue x . Les coefficients de ta combinaison linéaire peuvent être négatifs.

[gg0]

Bagnolet,

il serait bon que tu donnes l'énoncé complet, celui que tu as écrit au message #1 n'a pas vraiment de sens (un "positif" qui ne se rapporte pas à quoi que ce soit, il n'y a pas de nom commun qui pourrait être qualifié par cet adjectif au singulier).
Pour l'instant, chacun invente son énoncé, de ce fait la réponse est oui ou nom suivant l'invention de chacun.

Cordialement.

[invite5ffffaa4]

Merci pour les réponses,

Je n'ai pas était très précis c'est vrai, :/. Je vais essayé d'être plus précis et compléter l'énoncé qui vient d'assez loin.

En réalité, il s'agit d'un problème de programmation linéaire.

On a une programme linéaire sous forme standard.

Je cherche à démontrer qu'une direction basique qui est un rayon de la forme standard est un rayon extrême de sa région admissible.

On sait qu'un rayon est un rayon extrême s'il ne peut pas s'écrire :

avec avec et des rayons et

Donc finalement montrer qu'un rayon direction basique est un rayon extreme revient à montrer que si on peut écrire comme la somme de deux rayon alors ces deux rayons sont nécessairement colinéaire.

D'où la question initiale


Ma démonstration débute comme ça:

Soit un rayon direction basique. On peut poser une partition basique et un indice de variable hors base, alors on peut décomposer selon la partition avec:




L'idée serais de montrer la colinéarité des deux parties du vecteur séparément:

Pour on a :

Et je suis donc bloqué ici. J'aurais aimé montrer que et sont colinéaire.

Mais ma façon de procédé est sans doute peu pertinente, je suis preneur d'une autre façon de procédé.

Merci d'avance.

[gg0]

Désolé,

je ne comprends rien à ce que tu racontes. J'espère que d'autres sauront de quoi il s'agit.