Différence convergence uniforme et simple

[invite9baef2b4]

Bonjour,
Aujourd'hui j'ai commence à étudier les séries de fonctions: Jusqu'à maintenant j'ai lu c'est quoi la convergence simple et la convergence uniforme: La différence que j'ai constaté c'est l'emlacement du quantificateur quelque soit. Je pense (sauf erreur) que la convergence simple et plus 'vaste' que celle uniforme (par vaste je veux dire que si une série de fonctions converge uniformément alors elle converge simplement) Mais le problème c'est que je n'arrive pas a constater rigouresement la différence entre ces deux notions!!!
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[invite23cdddab]

Oublie les séries de fonctions pour le moment, et regarde pour commencer la convergence des suites de fonctions.

Une idée pour faire sentir la différence :

Si ta suite de fonctions f_n converge uniformément vers f, alors à partir d'un certain rang, le graphe de f_n serra dans une bande de taille epsilon autour de celui de f. On contrôle donc la différence entre f_n et f de façon globale.

Par contre pour la convergence simple (ou ponctuelle : "point par point"), il n'y a aucun contrôle global : il faut juste que pour chaque point x, la suite de nombres f_n(x) converge vers f(x), mais la convergence peut être très différente entre chaque point

[Médiat]

Bonjour,

Pour illustrer la réponse de Tryss2 : soit la suite de fonctions définies pour n > 0 par




Qui converge simplement vers la fonction identiquement nulle, alors que toutes les fn tendent vers l'infini au voisinage de 0

[invite9baef2b4]

C'est bien compris! La différence c'est le pouvoir de controler la taille de la bande où les graphes de fn seront resserés pres de f pour n assez grand (avec f la limite de fn).
Je pense que c'est la même chose pour les séries en considérons les sommes partielles!!

Cordialement!!

[A voir en vidéo sur Futura]