probabilités d'affilés

[Bilzebor]

bonjour,
je me posais une question: dans un schéma de bernoulli (avec 2 issues possibles), je sais comment calculer p(x=k) avec une formule,
mais comment calculer les probabilités d'avoir k fois le meme resultat d'affilé?

exemple: je lance 20 fois une pièce, quelles sont mes chances d'avoir eu au moins 2 faces d'affilés? ou d'avoir eu exactement 4 piles d'affilés? (etc...)

j'ai cherché un peu partout sans vraiment trouver de réponses :/
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[gg0]

Bonjour.

La question est nettement plus compliquée, car il n'y a pas la même régularité. L'événement dont tu parles s'obtient par
* FF puis n'importe quoi
* PFF puis n'importe quoi
* PPFF puis n'importe quoi
* FPFF puis n'importe quoi
etc.

tu peux faire ces cas et les suivants si ça te fait envie.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Pour au moins 2 faces d'affilé, c'est facile

[Bilzebor]

d'accord mais est ce qu'il existe un moyen de le calculer (une formule)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

quel est le contraire de "au moins 2 de suite" ?

[gg0]

Dit autrement,

quels sont les cas qui n'arrivent pas dans ma liste du message #2 ?

Cordialement.

[Bilzebor]

la proba de ne pas avoir 2 succès d'affilé? ca me parrait pas plus simple...
je parle de pièce dans mon exemple, mais ca pourrait être avec un dé: ex: je lance 30 fois un dé à 6 faces, quelles sont les chances d'avoir eu au moins deux "6" d'affilés?

[gg0]

J'avais compris que Médiat parlait de la probabilité d'avoir au moins 2 résultats identiques de suite; l'événement contraire est constitué de deux événements PFPFPF...F et FPFPFP...P.
Après relecture, je suis dubitatif sur son message #3. mais sans doute raté-je quelque chose (les dénombrements, ce n'est pas mon point fort).

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

J'avais compris que Médiat parlait de la probabilité d'avoir au moins 2 résultats identiques de suite.

Oui, c'est bien à cela que je répondais

quelles sont mes chances d'avoir eu au moins 2 faces d'affilés

[gg0]

Euh ... Médiat, je ne comprends pas ton message.

Finalement, tu as une méthode élémentaire pour "au moins 2 face d'affilée" ? Ah oui, par équiprobabilité de Pile et Face, il suffit de diviser par 2. C'est ça ?
Aie ! Je raconte des bêtises, les deux événements ne sont pas incompatibles

Cordialement.

[Médiat]

Effectivement, je ne sais pas pourquoi, j'étais parti sur "avoir deux faces identiques d'affilé" (face étant pris ici comme synonyme de "coté", et non comme antonyme de "pile").

[Médiat]

Néanmoins, je pense que la relation de récurrence suivante est correcte (à vérifier néanmoins) et généralisable à un nombre quelconque de possibles à chaque tirages : je note nombre de façons d'avoir 2 faces d'affilé en tirages








Pour un dé à 6 faces , il suffit de remplacer les 2 par des 6.

[Bilzebor]

merci pour la réponse qui m'aide bien, cependant je ne comprend pas comment vous l'avez trouvé, et pourquoi il n'y a pas mention de p (ou q) dans la formule?

[Médiat]

Je n'ai pas fait de probabilité mais du dénombrement donc aucune probabilité n'apparaît, quant à la façon d'établir cette formule, je me suis demandé comment on pouvait compter le nombre de façon d'obtenir deux fois de suite l'événement attendu pour la première fois à un rang donné.

[Médiat]

La formule que j'ai donnée et que je redonne avec une variable supplémentaire (m = nombre d'événements élémentaires) :







est confirmée pour m = 2 : https://oeis.org/A008466 et m = 3 : https://oeis.org/A186244

[Médiat]

Soit une suite à la Fibonacci définie par :






Alors la formule précédente devient

Formule que je n'ai pas démontrée, mais seulement vérifiée pour quelques valeurs (m =2, 3, 6).

[Médiat]

Et donc (sauf erreur de calcul) :

[Médiat]

Bonjour,

Je n'étais pas très performant hier à 13h30 (ça va mieux à l'aube ) : la formule du message #16 est triviale à démontrer (et rend totalement inutile la formule du message #15).

Soit le nombre de chaîne de longueur n sur un alphabet de longueur m (dont 0) ne contenant pas la sous-chaîne '00'.
(il existe une chaîne ne contenant pas '00' et de longueur 0 : la chaîne vide
(n'importe quelle chaîne de longueur 1 ne contient pas '00')

Pour n> 0, pour fabriquer un chaîne de longueur n+1 ne contenant pas '00', on peut :

Prendre une chaîne de longueur n-1 ne contenant pas '00', on lui ajoute autre chose que '0' (m-1 choix) puis '0'
Prendre une chaîne de longueur n ne contenant pas '00', on lui ajoute autre chose que '0' (m-1 choix)

Ces deux cas sont complets et exclusifs.


D'où la formule de récurrence

[Médiat]

On peut même généraliser aux chaînes de longueur k :

Soit le nombre de chaîne de longueur n sur un alphabet de longueur m (dont 0) ne contenant pas la sous-chaîne de longueur k '0..0'.
(il existe une chaîne ne contenant pas '00' et de longueur 0 : la chaîne vide
(n'importe quelle chaîne de longueur 1 ne contient pas '00')
...
(n'importe quelle chaîne de longueur k-1 ne contient pas la chaîne de longueur k '0..0')



La démonstration est la même.

L'espace des suites est toujours un espace vectoriel mais de dimension k, il devient donc rapidement difficile de calculer des suites simples formant une base ....