Nilpotence

[bennnn]

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à montrer qu'une matrice nilpotente appartenant à Mn(R) est semblable à une matrice diagonale inférieure strict
J'imagine qu'on doit trouver une matrice B qui représente le même endomorphisme dans une autre base de R^n.

Pouvez-vous m'aider ?
merci !
élève en PC de première année
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[Médiat]

Bonjour,

Commencez par une base du noyau (qui n'est pas réduit au vecteur nul)
Soit on a une base de R^n et on a fini
Soit on complète par une base du noyau de (qui n'est pas réduit au vecteur nul)
Soit on a une base de R^n et on a fini
Soit on complète par une base du noyau de (qui n'est pas réduit au vecteur nul)

etc.

Je vous laisse justifier les différentes étapes

[bennnn]

Merci beaucoup !!!

[bennnn]

Tout compte fait je n'arrive pas à conclure.
la matrice nilpotente A doit être semblable à une matrice B dont tous les termes sont nuls, sauf les bij tels que i-1 = j qui sont égaux à 1. Comment faire apparaitre les 1 et les 0 ?
merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Ce résultat est faux : la matrice A nulle est nilpotente, mais n'est pas semblable à la matrice B que tu décris.

[bennnn]

La matrice A appartient a Mn(R) et son indice de nilpotence est n

[God's Breath]

Si la matrice B représente un endomorphisme u dans une base (e₁,…,e_n), écris les valeurs des u(e_j), et essaie de construire une telle base à partir de la matrice A.