application lineaire polynomes

[invite86aca429]

bonjour à tous

soit E_n l'espace vectoriel reel engendré par les polynômes qui à la variable reelle x associe respectivement 1;x; ;x^n. à tout polynome P de E_n on fait correspondre par l'application f le polynome Q(x)=P(x+1)-P(x)

démontrer que f est une application lineaire de E_n dans lui meme.

voici ma premiere idée

soient Q et R 2 polynômes tel que Q(x)=P(x+1)-P(x) et R(x)=S(x+1)-S(x) on cherche à prouver que (Q+R)(x)=Q(x)+R(x) et que Q(ax)=aQ(x)

je ne sais pas si mon raisonnement est correct

merci d'avance pour votre aide
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[invite57a1e779]

on cherche à prouver que (Q+R)(x)=Q(x)+R(x)

C'est la définition de l'addition des polynômes, pas la linéarité de .

et que Q(ax)=aQ(x)

C'est la caractérisation des polynômes de la forme , scalaire.

Ce qu'il faut faire :
1. définie de E_n dans lui-même : si , alors puisque, avec tes notations :
2. Toujours avec tes notations : et , je note de plus : et , c'est-à-dire : et , il faut prouver et , ce qui se traduit par : et .

[Resartus]

Ce n'est pas cela qu'il faut montrer : ne pas confondre la linéarité d'un polynome (la plupart ne le sont d'ailleurs pas!) avec la linéarité de la transformation.

Pour la linéarité, il faut montrer que la transformation de P+S produit bien Q+R, c'est à dire que (P+S)(x+1)-(P+S)(X) vaut bien P(X+1)-P(X)+ S(X+1)-S(X)
De même pour le deuxième, peu importe la valeur du polynome pour ax. Il faut que la transformation qui transforme P en Q transforme aussi aP en aQ c'est à dire (aP)(X+1)-(aP)(X)=a(P(X+1)-P(X))

[invite86aca429]

si j'ai bien compris par exemples soient f et g deux fonctions dérivable alors (f+g)'=f'+g' c'est la linearité de la transformation la derivation

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Avec (af)'=af', oui !
Sans, c'est seulement l'additivité.

Pour pouvoir parler d'application linéaire, il faut préciser les espaces vectoriels de départ et d'arrivée.

Cordialement.

[invite86aca429]

c'est de E_n dans lui meme