une application avec des polynomes...

[invitea7fbb5b4]

bonsoir!

je dois trouver les valeurs propres de l'application suivante;

f: E ---> E
P |---> (X+1)P'+XP(-1).
avec E=R₃[X].

et la question est la suivante; soit k€R. Résoudre l'équation f(P)=kP d'inconnue P.
On note dorénavant k₁,k₂,k₃,k₄, les valeurs propres de f dans l'ordre croissant et P_j le vecteur propre pour f associé à k_j et qui est un polynome unitaire.


Enfet, j'ai fait : soit (a,b,c,d)€R⁴ tq P(X)=aX³+bX²+cX+d. et en posant le système je trouve quatre k, à savoir:

k= 3 ; k=2+3a/b; k=(3b-a)/c; k=c/d

alors je suis pas du tout sure de mes réponses, de plus qu'il faut les classer dans l'ordre croissant, et comme je connais pas ni a ni b ni c ni d ...

Merci d'avance ! !
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[Médiat]

k= 3 ; k=2+3a/b; k=(3b-a)/c; k=c/d

Les valeurs propres k sont des valeurs telles "qu'il existe P tel que f(P) = kP", elles ne peuvent pas dépendre de P (donc de a, b, c ou d).

Je suppose que dans tes calculs tu as obtenu 3a = ka et tu en as déduit k = 3, mais est-ce vrai même si a = 0 ?

[invitea7fbb5b4]

oui, c'était bien ce que je me disais, mais alors apres j'ai remplacé a=0 dans les autres et on trouve également b=0 c=0 et d=0

donc ça n'avance à rien, si ?

[Médiat]

oui, c'était bien ce que je me disais, mais alors apres j'ai remplacé a=0 dans les autres et on trouve également b=0 c=0 et d=0

donc ça n'avance à rien, si ?

Ce que tu as démontré c'est que si a != 0 alors k = 3, soit tu continues les calculs en fixant k = 3 et cela te donneras les vecteurs propres associés à 3, soit tu continues les calculs pour chercher d'autres valeurs de k (donc avec forcément a = 0)

Si tu supposes a = 0 il me semble que la deuxième équation devient 2b = kb ...

[A voir en vidéo sur Futura]