Pourquoi un ouvert?!

[invite9baef2b4]

Bonjour!!
En lisant mon cours de calcul différentielle je rencontre que pour parler de la différentiabilité d'une fonction f , on doit se situer sur un ouvert de l'ensemble de départ! Peut quelqu'un m'expliquer l'utilité de cette condition!!?
Et ma deuxième question c'est:
La différence entre les notions de dérivabilité et de differentiabilité est elle le nombre de variables de la fonction étudiée?
Merci d'avance!
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[invitecbade190]

Salut :

Si on se situe sur l'adhérence d'un ouvert ( i.e : un fermé ), si on prend un point sur la frontière du domaine, la différentiabilité suivant certaines directions peut ne pas exister ( enfin, n'existe pas vraiment ... ) ... Pense par exemple à la différentiabilité à gauche et à droite de sur un intervalle : , domaine de définition de la fonction ... La différentiabilité à droite existe, par contre elle n'existe pas à gauche, par ce que la fonction n'est pas définie à gauche de , elle n'est définie que sur , c'est pourquoi on différencie par rapport à un point dans un ouvert et non sur la frontière ...
Pour la deuxième question, oui, c'est ça ...
Cordialement.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

La dérivée d'une fonction f en un point a dépend d'une limite en ce point. Cette limite doit exister au point considéré mais aussi dans son voisinage (sur une boule de rayon e > 0 centrée en a). Si le domaine de la fonction est fermé alors il y a des points dont la boule associée contient des points qui n'appartiennent pas au domaine de la fonction (aussi petite que soit la boule de rayon e > 0). Par contre, pour un ouvert, on peut toujours trouver une boule en chaque point de l'ouvert tels que les points de cette boule soient dans l'ouvert (c'est même la définition d'un ensemble ouvert).

[invite7c2548ec]

Bonjour:

@ mathsloveer : D'une manière générale et on lisant le titre de cette discussion , vous avez tout les raison du monde à soulevez cette remarque , car la topologie élémentaire deviens un outille indispensable pour traduire et définir des notion en analyse 2,3 ainsi que l’analyse complexe et moderne prenez le cas d'une fonction à deux trois et plus de variables ainsi pour définir la continuité , la dérivabilité les intégrale double et triples le cas échéant domaine de définition de f(x,y,z) cela n'est rien devant l'étude de l'analyse fonctionnelle car elle s’appuie sur des base solide de la topologie .

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]