Différentielle en un point!!

[invite9baef2b4]

Bonjour,
En dimension quelconque la différentielle d'une fonction f:U c E ---->F (avec E et F deux evn et U un ouvert) en a de U est forcément continue?!

Merci d'avance!!
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[invitecbade190]

Bonjour,
Non, en dimension infinie, ça ne marche pas, il y'a un contre exemple dans le pdf de Georges comte, juste au début du cours, disponible sur le net gratuitement.
Cordialement.

[invitecbade190]

Tu vas à la page : 5 du document çi-joint.

[invite9baef2b4]

Bonjour, Merci pour le fichier:
J'en extrait:
"Pour cela, on remarquera que l’application L : K  x → x.  f(a) ∈ F est lineaire, sur ce modele on remplacera donc dans le cas general la definition (∗∗) par : “ il existe une application
lineaire La : E → F, une application p : Ω → F qui tend vers 0F lorsque sa variable tend vers 0E, telles que :
∀x ∈ Ω, f(x) − f(a) = L(x − a) + x − aE.p(x − a).
Cependant, lorsque la dimension de E est infinie, il se peut qu’une telle application lineaire L ne soit pas
continue en 0E, et donc que cette notion de derivabilite n’implique pas meme la continuite de f en a.
On reclamera alors, dans la definition ci-dessus, afin qu’elle soit plus forte que la continuite de f en a, que
l’application lineaire La soit continue."

Si j'ai compris quelque chose c'est qu'il faut que l'application soit linéaire pour garder la cohérence de la définition en dimension infini.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Bonjour,
Si j'ai bien saisi ta question, la différentielle de en qu'on note : est une application linéaire, et une application linéaire définie sur un espace vectoriel de dimension infinie n'est pas nécessairement continue. ( si la dimension est finie, oui, l'application linéaire est continue ). La preuve est le contre exemple proposé par le pdf que je t'ai inséré çi-dessus. J'espère que je n'ai pas proféré des âneries.

[invite9baef2b4]

Ben... je pense que mon premier messsage comporte une bêtise de formulation, une application linéaire en dimension infinie n'as aucune raison d'être continue. La question c'est sur la condition prise sur une l'appplication linéaire dans la defintion d'une fonction differentiable. Ainsi en dimension infinie la définition prise par tout le monde impose que la différentielle f en a soit continue pour éviter des contradictions!!

Cordialement.