Equ& diff 2nd ordre avec 2nd membre

[Chouxxx]

Bonjour,

j'ai un petit soucis sur une équa dif : y''+3y'+2y = t*exp(-t).

J'ai trouvé la solution sans second membre : y = K1*exp(-2t)+K2*exp(-t),

puis pour la solution particulière, j'ai trouvé en posant g(t) = (at^2+bt)*exp(-t) : solution : ( 1/2*t^2-t )*exp(-t)

d'où y = K1*exp(-2t)+K2*exp(-t) + ( 1/2*t^2-t )*exp(-t)

cependant, quand on me demande de trouver f, qui vérifie f(0) = 1 et f'(0) = -2, je trouve K1+K2 = 1 et -2K1-K2+1 = -2
soit, K1=2 et K2=-1

Mais ! A la question suivante on me dit que la solution est de la forme (1/2*t^2-t+1)*exp(-t) ce qui impliquerait que K1 = 0 et K2 = 1 ...

Pourriez-vous éclairer ma lanterne svp ?

Merci de votre aide
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[geometrodynamics_of_QFT]

Salut,

juste comme ça en passant, ça donne quoi si tu choisis comme particulière g(t) telle que y'' soit nulle?
puis je m'y mets sérieusement

[God's Breath]

quand on me demande de trouver f, qui vérifie f(0) = 1 et f'(0) = -2, je trouve K1+K2 = 1 et -2K1-K2+1 = -2

J'ai un doute sur : -2K1-K2+1 = -2 …
Refait le calcul.

[Chouxxx]

@geometrodynamics_of_QFT : Je ne sais pas, on m'a indiqué une méthode dans le texte que j'ai suivi. Je ne vois pas comment avoir y'' = 0, il faudra bien des exponentielles pour faire disparaître le second membre non ?

@God's Breath : On a y'(0)=(K1*exp(-2t)+K2*exp(-t) + ( 1/2*t^2-t )*exp(-t))'= -2K1-K2-1=-2 Tu as raison, je me suis trompé. D'où K1=0 et K2=1. Merci bien !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Chouxxx]

Bon, éh bien maintenant j'ai un petit soucis avec la question suivante : on pose f(t)=(1/2*t^2-t+1)*exp(-t)
Utiliser y''+3y'+2y = t*exp(-t) pour exprimer l'intégrale I=int(de 0 à 1)(f(t)dt) en fonction de f(0),f(1),f'(0) et f'(1) et de J = int( de 0 à 1 )(t*exp(-t)dt) = 1-2*exp(-1).

Intuitivement je dirais que f(1)-f(0)+f'(1)-f'(0)+J=I mais je ne suis pas sur et je n'ai pas la moindre idée de la démonstration ... Je n'ai qu'un seul exo en exemple et je ne le saisi pas très bien.

[God's Breath]

Il me semble que la fonction f satisfait, pour tour t : f''(t)+3f'(t)'+2f(t) = t*exp(-t), ce qui permet d'exprimer f en fonction de f' et f'', par suite de calculer l'intégrale.

[Chouxxx]

Je crois avoir compris :

On a 2f(t)=t*exp(-t)-f''(t)-3f'(t)

d'où : int(de 0 à 1)(f(t)dt)= 1/2 ( int(de 0 à 1)(t*exp(-t)dt)-int(de 0 à 1)(f''(t)dt)-int(de 0 à 1)(3f'(t)dt)

d'où : int(de 0 à 1)(f(t)dt)= 1/2J-1/2(f'(1)-f'(0))-3/2(f(1)-f(0))

f'(1) = -1/2*exp(-1) et f(1) = 1/2*exp(-1) f(0)=1 et f'(0)=-2 d'après le texte.

d'où int(de 0 à 1)(f(t)dt) = 1-3/4*exp(-1) ( d'après mes calculs )

Mais après, on me demande de faire une IPP de f(x)

et là je trouve I = [-t*exp(-t)](de 0 à 1) - [exp(-x)](de 0 à 1) = 1-2*exp(-1) ... Alors que la courbe, fait à vue d'oeil plutôt 1-3/4*exp(-1) ... Mais je ne vois pas l'erreur de mon IPP

[Chouxxx]

Quelqu'un pourrai m'aider pour mon dernier post svp ?

Merci à vous.

[Médiat]

Bonjour,

Essayez Latex, car ainsi, je n'ai vraiment pas envie de lire votre message

[Chouxxx]

Très bien Médiat ! Alors j'essaye :


On a 2f(t)=-f''(t)-3f'(t)



d'où :


d'après le texte.


Mais après, on me demande de faire une IPP de f(x)

et là je trouve I = [](de 0 à 1) - [](de 0 à 1) = 1-2*exp(-1) ... Alors que la courbe, fait à vue d'oeil plutôt 1-3/4*exp(-1) ... Mais je ne vois pas l'erreur de mon IPP

( je n'arrive pas à mettre les primitives entre crochet ! )

[Médiat]

Voilà :
et cela me semble correct