Bonjour,
Mon cours n'est pas clair la dessus,
Quelle forme de solution rechercher a une equa dif 2nd ordre avec 2nd membre de forme :
g(x)= [A*cos(C*x)+B*sin(D*x)]*exp(E*x) avec A,B,C,D,E constantes
J'imagine qu'il y a des cas a discriminer selon que les constantes soit ou non solution du polynome caracteristique de l'ESSM ?
Quelqu'un pourrait-il me les proposer ?
Et pour ne rien vous cacher, je suis dans la situation suivante :
f(x)=exp(2t)*sin(t)
Merci d'avance.
Cordialement,
Bonjour.
Pour répondre, il suffit d'imaginer ce qui se passe quand on prend une fonction comme la tienne, qu'on la dérive deux fois et qu'on ajoute. Avec le but que ça fasse le second membre.
Par exemple, si le second membre est exp(2t)*sin(t), que se passe-t-il si tu prends une fonction du même genre aexp(2t)*sin(t) comme solution particulière ? Ah ça ne marche pas, il y a des cosinus ? Eh bien rajoutons un bexp(2t)*cos(t), et regardons ce que ça donne.
Bonne réflexion !
Je ne parviens pas à des résultats cohérents. De plus il y'a pas mal de possibilités...
En fait l'exercice ne m'importe peu, c'est le cas général qui m'intéresse.
Savoir faire dans toute situation
Il peut être intéressant d'écrire les sinus et cosinus à l'aide d'exponentielles.
On a alors une somme de second membres de la forme Ae^(Bx), avec A et B complexes, ce qui est assez sympathique pour trouver une solution particulière.
Si l'équation est de la forme P.y'' + Q.y' + R.y = Ae^(Bx)
Alors une solution particulière est de la forme K.e^(Bx), avec K = A/(PB² + QB + R)
Et par superposition des solutions, on peut trouver une solution particulière de l'équation de départ
Utiliser Euler, pour transformer les cos et sin
Admin : message précédent posté par erreur. A supprimer, excusez moi.
Utiliser Euler, pour transformer les cos et sin, oui j'y es pensé mais ca n'abouti pas.
Si je prend le cas le plus général qui m'interesse :
g(x)= [A*cos(C*x)+B*sin(D*x)]*exp(E*x)
Je n'arrive pas à votre une forme F*e^(G*x)
J'obtiens termes 4 exponentielles, avec des facteurs devant x, tous différents les uns des autres, dans la parenthèse...
Et comme l'équation différentielle est linéaire, tu peux la couper en 4 équations (chacune avec seulement une exponentielle), les résoudre séparément.
Une solution particulière serra alors la somme des solutions particulières de ces 4 équations
