Equa. diff. (2nd ordre) et dimension.

[invite9de2e39b]

Bonjour à tous,

Voici l'exercice qui met poser, et il me pose un petit souci, auriez vous une petite idée :

Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y"-3y'+y=x-3 est un espace affine de dimension 2. En donner un repère.

Pour cela on utilise SGEC = SGEH + SPEC, il vient :

SGEH :
On pose l'équaion caractéristique : Y(r) = r²-3r+1=0
On obtient deux solutions : x1= 3+√5 /2 et x2= 3-√5 /2
Solution de la forme f : x-> a exp(x1.x) + bexp(x2.x) où a et b sont des constantes.

SPEC :
On peut voir une solution évidente x : (x)"-3(x)'+x=x-3

On utilise le théorème de superposition, il vient comme solution de l'équa diff :
f: x->a exp(x1.x) + bexp(x2.x) +x

Or on veut montrer que l'ensemble des solutions est de dimension 2, c-à-d quelle forme un plan d'équation :
y = ax1 +bx2

Mon problème est de montrer que cette solution est bien de dimension 2, c-à-d qu'un des termes de la solution est combinaison linéaire des autres.

Voilà si qql'un peut m'aider ça serait sympas, bonne journée.
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[God's Breath]

Or on veut montrer que l'ensemble des solutions est de dimension 2, c-à-d quelle forme un plan d'équation :
y = ax1 +bx2

Attention on demande d'établir que l'ensemble des solutions est un espace affine, pas un espace vectoriel.

On ne cherche donc pas une base d'un plan vectoriel, mais un repère d'un plan affine, mais quel type de repère ? Il peut s'agir
– d'un repère cartésien constitué d'une origine, point de l'espace affine, et d'une base du plan vectoriel directeur ;
– d'un repère affine constitué de trois points affinement libres du plan affine.

En se rappelant que, si est un repère affine du plan, alors est un repère cartésien, et, réciproquement, si est un repère cartésien, alors est un repère affine.