Calculer la limite d'une série double

[invitea87c944f]

Bonjour tous le monde,

J'ai besoin d'une aide pour pouvoir calculer la limite de la série suivante:



Avec et est un paramètre positif.

Merci d'avance,
-----

[azizovsky]

je n'ai jamais fait ça, mais si tu pose les terme sur une matrice n², sauf erreur de ma part , si on somme suivant les diagonales, il sera de la forme suivant:

?

[azizovsky]

je n'ai jamais fait ça, mais si tu pose les terme sur une matrice n², sauf erreur de ma part , si on somme suivant les diagonales, il sera de la forme suivant:

?

je trouve: ?

[invitea87c944f]

Merci pour votre intervention, Oui vous avez raison mais \lambda à la puissance \alpha au lieu de alpha. mais ce terme va converger vers zéro parce que -\alpha-1<0 donc il faut sommer des autres termes pour i<j.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

ils sont déjà sommer dans les termes avec k=i-j et les positifs dans

les terme en haut de la diagonale sont tous négatifs et en dessous d'elle, ils sont tous positifs

[invitea87c944f]

Je suis désolé mais l'ai pas bien compris car je vois plus \lambda dans votre résultats ! en plus je veux avoir la limite en fonction de |\lambda|^{\alpha}.

[azizovsky]

désolé je voulais dire que au dessus de la diagonale et positifs en dessous et nul sur la diagonale.

[azizovsky]

Je suis désolé mais l'ai pas bien compris car je vois plus \lambda dans votre résultats ! en plus je veux avoir la limite en fonction de |\lambda|^{\alpha}.

erreur d'écriture, valeur absolu de le reste ... (je suis terrassé par le 'froid'...)

[invitea87c944f]

C'est pas grave, en fait merci beaucoup pour votre effort à fin de résoudre le problème
la limite que je dois avoir est exactement |\lambda|^{\alpha} pour atteindre mon but.

[invitea87c944f]

Re-bonjour Azizovsky,

D'après votre écriture de la série double on peut écrire cette série double sous forme de deux série simple si j'ai bien compris.
n^{-\alpha-2}[n|\lambda|^{\alpha}+\sum_{i=1} ^{n-1}(n-i)|\lambda+i|^{\alpha}+\sum_{i =1}^{n-1}(n-i)|\lambda-i|^{\alpha}]

Merci d'avance,

[azizovsky]

Re-bonjour Azizovsky,

D'après votre écriture de la série double on peut écrire cette série double sous forme de deux série simple si j'ai bien compris.
n^{-\alpha-2}[n|\lambda|^{\alpha}+\sum_{i=1} ^{n-1}(n-i)|\lambda+i|^{\alpha}+\sum_{i =1}^{n-1}(n-i)|\lambda-i|^{\alpha}]

Merci d'avance,

j'ai écris la matrice :



avec ça donne :

après je fait la somme chaque terme avec ce qui donne :



on voit que sur les même 'diagonales' il y'a les mêmes termes qu'on met sous forme qu'on peut déterminer leurs somme .

oui il y'a deux séries, celles au dessus de la diagonale et celles au dessous....

[invitea87c944f]

Ok on est d'accord, merci beaucoup pour ces explications, j'ai l'idée de traiter chaque série à part ça sera plus facile que traiter une série double.

[invitea87c944f]

Je veux traiter premièrement la série simple comme suite:

et en faisant le développement limité de la fonction au voisinage de zéro en obtient


Qu'en pensez-vous !!

[invitea87c944f]

J'ai utilisé:

[azizovsky]

je n'est pas terminé, je prend la série qui donne :

avec pour on'a

qui converge pour càd pour

en attendant d'autres intervenants avec d'autres démarches .

[azizovsky]

correction : les puissance : donc .....

[azizovsky]

c'est la série: qui converge pour ....

[azizovsky]

c'est la série: qui converge pour ....

qui converge pour . j'arrête ...

[invitea87c944f]

Bonjour Azizovsky,

vous avez trouvé que la série converge pour \alpha<1/2 ce qui est une condition satisfaite mais en multipliant par la limite va converger vers 0 par contre par la méthode que j'ai fait j'ai trouvé que la limite converge vers .

Il y'a pas d'autre intervenants qui peuvent confirmer ou corriger nos calculs