séries numériques

[invite70fc9bc9]

Bonjour,

Je vous expose le problème. Dans cet exercice il faut étudier la convergence des séries.
Soit la série S3 tel que
(désolée , je suis obligée d'écrire en toute lettre)

S3= (n=1 à +l'infinie) de (2n+1)⁴/(7n²+1)³

ce que j'ai fait :

j'ai tout simplement calculer "la limite de la série quand "n" tend vers +l'infinie"
donc j'ai commencé par calculer la limite de (2n+1)⁴ quand n" tend vers +l'infinie" . (méthode calcul de la limite d'une fonction composée) je trouve que cette limite est égale à (+ l'infinie)

j'emploie la même méthode pour calculer la limite du dénominateur (méthode calcul de la limite d'une fonction composée)
je trouve aussi (+ l'infinie).
Donc la limite de S3 est aussi (+ l'infinie) d'où S3 diverge

ce que dit la correction :

Alors je ne comprend pas, mais pas du tout l'approximation utilisée, la question c'est "pourquoi?"
Selon cette correction on peut dire que que : (2n+1)⁴/(7n²+1)³ ~ (2⁴/7³ )* (1/n²) OK... (mais pourquoi???) puis évidemment ils nous sortent la série de Reimann (1/n²) et donc que la série est convergente.

Où me suis-je trompée??
Je vous remercie d'avance d'éclairer ma lanterne.
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[Resartus]

Si on trouve infini/infini, on ne peut rien conclure pour la suite ni pour la série. Il faut essayer autrement.
On sait que ce qui compte quand n tend vers l'infini, c'est les termes dont l'exposant est le plus grand. Ici le terme le plus grand du numérateur est en n^4 et le terme le plus grand du dénominateur est en n^6. Au total, on a un terme de la suite qui, pour n assez grand se comporte comme 1/n^2
Ensuite, comme on sait qu'une série en 1/n^2 converge, on sait que cette série converge.

[invite57a1e779]

Donc la limite de S3 est aussi (+ l'infinie) d'où S3 diverge

Je ne connais aucun argument qui permette cette conclusion à partir des résultats précédent. S'il en existe vraiment un, je suis impatient de le connaître pour l'ajouter à ma collection.

Par contre un calcul classique fournit les deux résultats suivants :





donc, par définition d'un équivalent :

[invite70fc9bc9]

Je ne connais aucun argument qui permette cette conclusion à partir des résultats précédent. S'il en existe vraiment un, je suis impatient de le connaître pour l'ajouter à ma collection.

Moi aussi je suis impatiente de le connaître, mais je pense qu'avant tout je devrais réviser les opérations sur les limites et différentier limite d'un produit et celle d'un quotient.

Mis à part cette énorme bêtise, je vous remercie au final c'était plus simple que je ne le pensais.

[A voir en vidéo sur Futura]