équations différentielles séparation des variables
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équations différentielles séparation des variables



  1. #1
    invite2a52ba01

    équations différentielles séparation des variables


    ------

    bonjour,
    je cherche à résoudre l'équation différentielle x'(t)=ax(t)(1-x(t)) avec a>0 par la méthode de séparation des variables
    j'ai remarqué que les solutions constance sont la solution constante nulle ou la solution constante égale à 1.
    pour résoudre j'ai fait
    x'(t)/(x(t)-x^2(t)=a
    seulement mon problème c'est que je n'arrive pas à intégrer le membre de gauche...
    comment puis je faire ?
    merci

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : équations différentielles séparation des variables

    Décomposer la fraction rationnelle en éléments simples ?

  3. #3
    invite2a52ba01

    Re : équations différentielles séparation des variables

    a oui effectivement ! merci je ne pense jamais à cette fameuse décomposition en élément simple.
    par contre il y a t'il moyen de prouver et l'unicité de la l'existence de la solution parce que je pense qu'on ne peut pas montrer que la fonction second membre est globalement lipschitzienne par rapport à x et uniformément par rapport à y....
    merci bcp pour votre aide

  4. #4
    invite2a52ba01

    Re : équations différentielles séparation des variables

    parce que le truc c'est que pour faire la méthode de séparation des variables il faut que je divise par x(t)-x^2(t) il faut donc que ce soit différent de 0 je le justifie non croisement des solutions mais il me semble qu'il y a des condition que la fonction second membre soit uniformément lipschitzienne

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite57a1e779

    Re : équations différentielles séparation des variables

    Le second membre est une fonction de (t,x) de classe C1 sur R2 : le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence et l'unicité d'une solution maximale pour pour toute condition initiale x(t0)=x0.

    De toutes façons, puisque les solutions sont explicitement connues ; il est facile de vérifier les problèmes d'existence, d'unicité, de définition des solutions maximales, etc.

  7. #6
    invite2a52ba01

    Re : équations différentielles séparation des variables

    merci ! mais ça c'est Cauchy-Lipschitz local non ? donc ça ne doit pas garantir juste l'existence et l'unicité d'une solution LOCALE ?
    merci

  8. #7
    invite57a1e779

    Re : équations différentielles séparation des variables

    Ca garantit l'existence d'une solution maximale : les solutions constantes sont évidemment maximales, ce qui permet de déterminer explicitement les autres solutions et d'étudier directement les problèmes globaux.

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