Séparation des variables

[inviteb592f80b]

Bonjour à toutes et à tous

Voila donc je vous présente mon problème en espérant que vous pourrez m'éclairer.

Je dois trouver l'expression analytique du transfert de chaleur dans une plaque plane en 2D (x et y) soit l'équation différentielle suivante :

d²T/dx²+d²T/dy² = (1/a)*dT/dt

avec a = k/(ro*cp) diffusivité du matériau considéré

Mes conditions d'études sont les suivantes :

- flux imposé en x=0 : Fi=-k(dT/dx)
- continuité de flux en x=L : h*(T(x=L)-T_amb)=-k(dT/dx)
- continuité de flux en y=0 et y=H
h*(T_amb-T(y=0))=-k(dT/dx)
h*(T(y=H)-T_amb)=-k(dT/dx)

Condition initiale T(x,y,0) = 25°C

Voilà le décor est planté !

Alors pour résoudre cette équa diff et obtenir mon expression de T(x,y,t) je souhaite utiliser la méthode de séparation des variables. Seul soucis : je suis bloqué !

Alors en fait j'ai bien fait toutes les étapes :
- je sépare la fonction : T(x,y,t)=X(x)*Y(y)*G(t)
- j'obtiens : X"/X+Y"/Y=(1/a)*G'/G
- je pose :

X"/X+Y"/Y=-alfa²
et
(1/a)*G'/G=-alfa²

de plus je pose X"/X=beta² et Y"/Y=gamma² avec alfa²=beta²+gamma²

Les solutions sont de la forme :

X(x)= A.cos(beta.x)+B.sin(beta.x)
Y(y)=C.cos(gamma.y)+D.sin(gamm a.y)
G(t)=E.exp(-a*alfa²*t)

Et la c'est le drame puisque avec mes conditions limites je n'arrive absolument pas à définir toutes mes constantes !


C'est pourquoi je viens vers vous, ainsi :

- cette équation est elle résolvable avec le type de conditions limites que j'impose ? Je me pose cette question car dans toute la littérature que j'ai lu, il y avait que des conditions du type dT/dx=0 ou T(x)=0...

- auriez vous des astuces,conseils,... à me donner ?

Merci d'avance d'avoir pris le temps de me lire et aussi pour vos éventuelles réponses.

Bien à vous

Yulto
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[mc222]

Salut, le alpha que tu pose est arbitraire, ta solution n'est donc qu'une parmis une infinité, pour tenir compte de la totalité des alpha, on fais une transformation de Fourier, la solution est donc la somme infinit de ta solution pour toutes les fréquences.

[inviteb592f80b]

Bonsoir,

Voulez vous dire qu'il faut absolument que je passe par les nombres adimensionnels pour résoudre mon histoire ?

avec les X*= \frac{x}{L} , Y*= \frac{y}{L} , et le fameux nombre de fourrier Fo= \{at}{L²} ?

Si c'est que vous voulez dire, mon soucis est que je ne sais pas trop transformer mes conditions limites une fois que j'ai fait ces changements de variables !

Merci beaucoup !

[mc222]

je ne suis absolument pas performant dans ce genre de problème, mais je pense que ce que j'ai mis plus haut est correcte.

Je ne peux pas t'aider d'avantage, désolé.

[A voir en vidéo sur Futura]