Bonjour à tous,
Quand on étudie le cas d'une particule quantique dans une boîte avec potentiel infinie à l'extérieur par exemple, on utilise la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation de Schrödinger en se ramenant au cas d'une dimension.
Mais pourquoi peut-on dire que l'on peut écrire la fonction d'onde :? Y a-t-il un argument qui justifie une telle écriture ?
Merci d'avance,
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
bonjour,
c'est à cause des symétries du système, X,Y et Z sont trois observables qui commutent ici, donc on peut choisir de chercher un base de solutions sous la forme que tu donnes.
Mais toutes les solutions s'ont pas cette forme, il suffit de prendre une combinaison linéaire de cette base de solution pour s'en assurer.
Parce que le Hamiltonien dont on cherche les modes propres est une somme de trois opérateurs agissant chacun sur une seule variable.Envoyé par Phys2
Bonjour à tous,
Quand on étudie le cas d'une particule quantique dans une boîte avec potentiel infinie à l'extérieur par exemple, on utilise la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation de Schrödinger en se ramenant au cas d'une dimension.
Mais pourquoi peut-on dire que l'on peut écrire la fonction d'onde :
Merci d'avance,
Phys2
Si la masse (effective) est différente selon les trois directions, c'est encore vrai, bien que la symétrie soit alors brisée.
et pour compléter un peu, la densité de probabilité et alors très simplement le produit des densités de probabilité :
Oui, mais seulement pour les éléments de la base.
Est-ce que tu pourrais développer ce donc ? Je ne vois pas comment faire le lien entre les deux parties de ta phrase.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Lorsque des observables commutent, tu peux trouver une base commune à ces observables. Ici les opérateurs X,Y et Z commutent, donc tu peux chercher une base de la forme que tu proposes.
Ensuite il faut bien comprendre que tous les états ne s'écrivent pas de cette forme mais comme combinaison linéaire d'états de cette forme.
Bonjour à tous,
Quand on étudie le cas d'une particule quantique dans une boîte avec potentiel infinie à l'extérieur par exemple, on utilise la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation de Schrödinger en se ramenant au cas d'une dimension.
Mais pourquoi peut-on dire que l'on peut écrire la fonction d'onde :
Merci d'avance,
Phys2
Bonjour,
Potentiel quelconque:
Tu ne peux peux écrire cela en toute généralités:
Ton Hamiltonien écrit:
H (x,y,z) = Px2/2.m + Px2/2.m + Px2/2.m + V(x,y,z)
où V(x,y,z) est infini à l'expérieur d'un parallélipipède
Visiblement tu ne peux pas écrire:
H(x,y,z) = HX(x) + HY(y) + HZ(z)
qui te permettrait d'écrire:
F (x,y,z) = Ap(x).Bq(y).Cr(z)
Avec:
HX.Ap(x) = Ap.Ap(x)
Ap est une valeur propre de HX indicée par p et Ap(x) est la fonction propre correspondante.
Potentiel nul (ou constant)
par contre si V(x,y,z) est nul tu peux faire cette séparation de variables. Le calcul ci-dessus est le même que la détermination des modes électromagnétiques ou acoustiques dans une cavité parallélipipédique.
potentiel périodique.
Une autre possibilité est la cas où le potentiel V(x,y,z) est périodique cad que:
V(x,y,z) )= V(x + A ,y,z) où A est une valeur fixe.
même chose pour les 3 autres directions.
Pour comprendre pourquoi on peut factoriser il faut que tu regardes le théorème de Bloch (dans un livre ou un PDF) pour les potentiels périodiques ou mieux encore la théorie des representations des groupes qui donne le fondement du théorème de Bloch.
En 2 mots quand tu as de la périodicité l'Hamiltonien H commute avec les opérateurs de Translations et les opérateurs de translation commutent entre eux soient:
[H,TA] = 0
[H,TB] = 0
[H,TC] = 0
[TA,TB] = 0
[TA,TC] = 0
Ce qui implique que le valeurs propres de TA, TB,TC sont également vecteurs propres de H ce qui entraine une certaine factorisation.
Je remonte ce sujet parce que je n'ai toujours pas bien compris pourquoi il existe une base de solutions de la forme XYZ...
If your method does not solve the problem, change the problem.
Il y a deux arguments
Quand on étudie le cas d'une particule quantique dans une boîte avec potentiel infinie à l'extérieur par exemple, on utilise la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation de Schrödinger en se ramenant au cas d'une dimension.
Mais pourquoi peut-on dire que l'on peut écrire la fonction d'onde :
1. Le produit tensoriel d'espaces d'états
2. Ensemble Complet d'Observateurs qui Commutent (ECOC).
Imaginons 3 systèmes isolés
Si on considère maintenant l'ensemble de ces trois systèmes formant un système unique S(ce qui devient indispensable lorsqu'ils sont suffisamment proches). Quel est alors l'espace des états E du système global?
L'espace des états est l'espace-produit
Puisque l'observable X forment un ECOC dans
Donc,
Finalement, la séparation des variables revient à supposer que l'on peut décomposer le système en trois sous-systèmes unidimensionnels indépendants. Merci
If your method does not solve the problem, change the problem.
