Immersion, submersion, plongement

[invite441b8ec8]

Bonjour,


Je dois vérifier si l'application lisse

est une immersion, submersion ou un plongement.

Pour cela j'ai calculé la Jacobienne de mais à partir de celle-ci je ne sais pas comment conclure pour savoir si c'est une immersion etc.


Merci !

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[invitecbade190]

Salut :
Sauf erreur de ma part,
D'abord, pour montrer que n'est pas un plongement, il suffit de montrer qu'il n'est pas injectif. Ce qui pour moi semble être évident. Il suffit de choisir deux points distincts qui ont la même image par .
Ensuite, pour la submersivité, tu montres que la Jacobienne en un point n'est pas surjective.
Et pour la immersivité, il suffit de montrer que la Jacobienne en tout point est injective.
Regarde ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Submer...%A9matiques%29
Cordialement.

[invite441b8ec8]

Merci beaucoup

[invitecbade190]

S'il y'a des choses qui restent incomprises sur les détails de la démarche, je suis toujours dispo.
Sauf, que j'ai eu un peu la flemme de faire le calcul de la Jacobienne et terminer jusqu'au bout.
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite441b8ec8]

Hello


Je ne vois pas vraiment comment montrer que f est injective à partir de la Jacobienne :/
et pour la surjectivité, pour moi f est surjective car le rang de la jacobienne vaut 3. Est-ce que je me trompe ?

[invite57a1e779]

Je ne vois pas vraiment comment montrer que f est injective à partir de la Jacobienne

L'injectivité de f s'affirme ou s'infirme à partir de l'expression de f, pas de sa jacobienne

le rang de la jacobienne vaut 3.

La jacobienne étant de taille 3x2, son rang ne peut pas excéder 2...

[invitecbade190]

Non, on montre l'injectivité de non pas à partir de la Jacobienne, mais à partir de l'expression de elle même, c'est l'immersion qui se montre à partir de la Jacobienne et non l'injectivité. Es tu d'accord ?
Un indice pour aller trop vite : Essaye ces deux point : , . Conclus que n'est pas injective.

Edit : Grillé.

[invite441b8ec8]

Oui je n'avais pas fait attention... Si par contre j'ai une application lisse qui va par exemple de S^2 dans les réels, je dois cette fois-ci calculer la jacobienne dans les cartes c'est bien ça ?

[invite57a1e779]

Tout dépend comment est donnée l'application : on peut parfois travailler directement sur la différentielle sans passer par les cartes et une matrice jacobienne.
Mais passer par un calcul dans les cartes est très souvent le plus pratique, quoique fastidieux dans certains cas.