Groupes et Quadriques

[invite69dafe8b]

Bonjours,

Voila je vous explique mon petit problème et j'espere que quelqu'un pourra m'aider!

Je suis actuellement en 1ere candi Math-Physique (en france, ca corespond a la 1ere année universitaire)

Et j'ai un projet a faire en géométrie, qui est franchement compliqué. Donc j'espere que quelqu'un pourra m'aider. Parceque j'ai un ptit peu dure a comprendre par ou commencé!

Donc, je vous réecris l'énoncé (dites moi ce que vous en pensez) :

1) Donnez la définition de groupes ainsi que des exemples algébrique :
-la définition ca va
-mais les exemple je en vois pas trop mis a part le groupes (G,.,1,(-)^-1)

2) Considerons une ellipse £ et un point E apaertenant a £ fixé. On se propose de construire un groupe sur cette ellipse.
Soit P,Q apartenant a £. On notera la projection P o Q qu'on défini de la facon suivante : P o Q est le point d'intersection de l'ellipse et de la droite passant par E et // a PQ.

- modifier la def pour qu'elle prenne en compte le cas P = Q
- montrez qu'il s'agit d'un groupe commutatif. (commencez par un cercle et expliquez ensuite pourquoi on a le meme résultat pour une ellipse quelquonque).
-Dans le cas d'un cercle, montrez que ce groupes s'identifie au groupe des rotations : +(mof2*Pi) : [0,2Pi[ -> [02Pi[ en identifiant le neutre avec 0.
-Qu'en est il pour une ellipse quelconque

3) Une construction similaire donne des groupes sur les hyperboles et les paraboles. Quels groupes obtenez vous dans ces cas?

4) Pour allez plus loin. Pour une conique quelqu'onque dégénérée, l'associativité du groupe défini découle du théoreme de Pascal en géométrie projective. Pouvez vous expliquer comment?


Voila l'énoncé! Si quelqu'un pouvait m'aidé a commencer ca m'aiderais vraiment (Pas résoudre le problème, mais m'indiquer une direction a suivre, ca rpour le moment je suis vraiment sans idée)
Merci beaucoup

Loïc
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[invite37968ad1]

Bonjour,

je n'arrive pas à lire ton exemple de groupe,
mais ça m'étonne que tu n'en trouves qu'un
ensemble des entiers relatifs, muni de l'addition: (Z, +)
ensemble des rationnels non nuls, muni de la multiplication : (Q*, x)
ensemble {0 ; 1} muni de l'addition (en prenant 1 + 1= 0)
ensemble Z/nZ des restes modulo n, muni de l'addition
ensemble des polynomes, munis de l'addition
ensemble des isométries du plan muni de o (non commutatif)
ensemble des similitudes muni de o (non commutatif)
ensemble des vecteurs du plan, muni de l'addition

vous avez peut-être vu en cours des exemples plus tordus, avec une loi qui n'est ni +, ni x, ni o (à citer)

pour la suite, l'opération ponctuelle est originale
pour chercher P o P, j'ai remarqué que P o Q donnait tous les points de l'ellipse sauf E quand Q parcourt l'ellipse privée de P, d'où l'idée de prendre P o P = E

o interne est facile à vérifier
o commutative aussi
l'élément neutre e o P = P se traduit par "où placer e pour que la droite (eP) soit parallèle à la droite (EP) ". Ecrit comme ça, ça parait très simple
le symétrique de P est facile à trouver
le plus dur reste l'associativité de o

démontrer que (P o Q) o R = P o (Q o R). Sur un cercle, il te faut placer E, P, Q, R, P o Q, Q o R et il s'agira de prouver que la droite (P RoQ) est parallèle à la droite (R PoQ) (pourquoi?). Aide toi des parallèles, de la propriété de l'angle inscrit et de la droite (R RoQ)

Voilà déjà quelques pistes pour démarrer.

[invite69dafe8b]

>je n'arrive pas à lire ton exemple de groupe,

Mon groupe était (G,.,1,(-)^-1)

a savoir le, groupe G qui a une lois . (multiplication que tu note x)
1 son neutre,
un inverse notté (-)^-1

>mais ça m'étonne que tu n'en trouves qu'un
>ensemble des entiers relatifs, muni de l'addition: (Z, +)
>ensemble des rationnels non nuls, muni de la multiplication : (Q*, x)
>ensemble {0 ; 1} muni de l'addition (en prenant 1 + 1= 0)
>ensemble Z/nZ des restes modulo n, muni de l'addition
>ensemble des polynomes, munis de l'addition
>ensemble des isométries du plan muni de o (non commutatif)
>ensemble des similitudes muni de o (non commutatif)
>ensemble des vecteurs du plan, muni de l'addition

-> Effectivement

>vous avez peut-être vu en cours des exemples plus tordus, avec une loi >qui n'est ni +, ni x, ni o (à citer)

-> Plein

>pour la suite, l'opération ponctuelle est originale
>pour chercher P o P, j'ai remarqué que P o Q donnait tous les points de >l'ellipse sauf E quand Q parcourt l'ellipse privée de P, d'où l'idée de >prendre P o P = E

-> Oui c'est vraiment génial

>o interne est facile à vérifier

-> oui

>o commutative aussi

-> oui

>l'élément neutre e o P = P se traduit par "où placer e pour que la droite >(eP) soit parallèle à la droite (EP) ". Ecrit comme ça, ça parait très simple

-> Je vois bien l'explication mais pas encore bien comment le calculer (mais je vais essayé de trouver ca cette aprem, ca ne devrais pas poser de probleme)

>le symétrique de P est facile à trouver

-> Qu'apelle tu le symétrique? Son opposé? Comment le calculer? Prendre la droite orthogonal a PQ passant par E?

>le plus dur reste l'associativité de o

>démontrer que (P o Q) o R = P o (Q o R). Sur un cercle, il te faut placer >E, P, Q, R, P o Q, Q o R et il s'agira de prouver que la droite (P RoQ) est >parallèle à la droite (R PoQ) (pourquoi?). Aide toi des parallèles, de la >propriété de l'angle inscrit et de la droite (R RoQ)

-> la méthode semble bonne mais je dois encore essayé

>Voilà déjà quelques pistes pour démarrer.

-> Merci infiniment, je regarde ca pour l'éllipse et les autres, et si jammais je bloque encore a un endroit, je compte sur toi

Mais vraiment merci

[invite37968ad1]

j'ai répondu un peu vite pour P o P :
le point E est atteint quand (PQ) est parallèle à la tangente en E
Le point qui n'est jamais atteint c'est le point M tel que (EM) soit parallèle à la tangente en P

Donc, mon intervention n'était pas géniale ... mais fausse ops:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69dafe8b]

Heu... Pour moi tout les points sont atteignables!

J'ai fait un petit dessin qui montre que tout les point sont atteignable, mais je n'ai aps ton email, et je n'ai aps de serveur pr deposer l'image donc voila :s

Mais un point M tel que (EM) soit parallèle à la tangente en P
n'existe pas

pas pour une ellipse en tout cas
(donc je pense que prendre PoP = E n'est pas une si mauvaise idée que ca!

enfin je crois :s

[invite69dafe8b]

PoP est vraiment un gros problème
Car si on dis PoP = E,

car on a aussi que E = PoQ tq PQ est // a la tangante en E
et donc on a PoP = PoQ d'ou P = Q Non?

Je ne sais pas, ce cas m'embroille un peu...

Qu'en pense tu?

[invite37968ad1]

Tu vois bien le problème! P o P n'est pas égal à E et je m'en veux de t'avoir mis cette idée en tête

Pourquoi dis-tu qu'on ne peut pas trouver un point M tel que (EM) // tangente en P? Il me semble que c'est possible.

Mais si tu veux envoyer une image, tu peux utiliser le serveur de futura sciences
voir http://forums.futura-sciences.com/viewtopic.php?t=1263

[invite69dafe8b]

Voila ce que j'ai pour la 1ere question :

Groupe definition : Un groupe est un quadruplet (G,.,1,(_)^-1)
dans lequel G est un ensemble, 1 une operation nullaire, (_)^-1 est une operation unaire sur G, de plus ce quadruplet doit respecter les axiomes suivant :
- associativité
- neutre
- symétrique
Si de plus, le groupe respecte la commutativité, il est dit commutatif!

Exemples :
addition sur R (R,+,0,-(_))
multiplication sur R(R,.,1,(_)^-1)

Le début de la question 2 :
Soit e une ellipse de R² et soit E appartenant a e fixé
Soit le groupe défini ainsi :

Soit P,Q apartenant a e, on défini PoQ est le point d'intersection de e et de la droite // a PQ et passant par E si P diff de Q
et est E si P = Q

Lois INTERNE : Il est clair que X = PoQ appartient a e, car il est définnit par l'intersection d'une droite passant par un point de e avec e (il reste quand meme avoir les problème avec PQ // a la tangante en E, car le seul point d'intersection entre E et cette droite passant par E, est E lui meme (et c'est le seul point)

COMMUTATIVITEE : cela vient du faite que la droite // a PQ et passant par E est la meme que celle // a QP et passant par E

NEUTRE : cela revient a dire que PoN = P ce qui implique forcement que N = E Car la droite passant par E et // à PE est la droite PE et sont unique point d'intersection avec e mis a part E est P

SYMETRIQUE : aucune idée...
il faut trouvé un point X tq (PoQ)oX = Po(QoX) = P donc trouver un point tq QoX = E Donc telle que QX // tangante en E donc telle que X = symetrie orthogonal d'axe EC de Q pour le cercle, ou C est le centre! Mais comment faire pour une ellipse?

Voila mon début de réponse, qu'en pense tu?

[invite69dafe8b]

l'image : http://membres.lycos.fr/futuraelec/u...ur_ellipse.JPG

[invite37968ad1]

multiplication sur R(R,.,1,(_)^-1)

attention: il faut prendre R*

et est E si P = Q

Non, je t'ai suffisamment dit que c'était faux (j'ai le droit de me tromper quand même!) "errare humanum est, sed perseverare diabolicum"
Tu as vu toi même que ça ne marchait pas. Dans ta dernière figure , le point rouge est un bon candidat pour P o P

Pour le symétrique, je pense que tu te compliques la vie: pour tout P, il faut que tu trouves un point Y tel que P o Y= Y o P = E
Cependant la solution que tu proposes pour le symétrique de Q est bonne, inutile de chercher plus loin: le point E étant fixé, il est facile de tracer la tangente (t) en E à l'ellipse, le point Y étant le point d'intersection de la parallèle à (t) passant par P avec l'ellipse[/quote]

[invite69dafe8b]

Pour le PoP je suis d'accord,

Pour le symétrique, il y a quand meme un probleme car ca veut dire que le Point E' défini par E' = PoP (le point rouge dans ma derniere figure)
n'as pas de symétrique, tout comme le point E.

De plus on peut dire que PoP = PoNoP Ou N est le neutre!
et N = Xo-X
donc on peut dire que E' = PoP = PoNoP = Po(Xo-X)oP = (PoX)o(-XoP) et ca ca ne marche pas! Donc, soit ca veut dire que mon groupe n'as pas l'associativité, soit ca veut dire que E' n'est pas bon pour PoP ou alors que ma notion de symétrique n'est pas correcte :s

Une idée?

[invite69dafe8b]

Devine ce que je vien de remarquer curieux....

quand je développe PoP par la construction que je t'ai expliqué
PoP = PoOoP = Po(Xo-X)oP = (PoX)o(-XoP)

J'obtient la droite parallele a la tangante en P, ce qui est quand meme génial!
(meme si comme cette droite dois passer par E elle me donne un point W de l'ellipse, je sais que le vecteur construit a partir de EW est // a la tangante en P

Je vois mon assistant tantot, et je vais voir un peu ce qu'il pense de tout ca

Mais merci beaucoup curieux, tu m'as bien lancer
Tres sympa, le forum est dors et déja dans mes favorits, et j'essayerais de le visiter souvent pour moi aussi aidé les gens

encore merci