Primitivation sur intervalle ouvert et de fontion à 2 variables

[docteurdread]

Bonjour à tous !

Je débarque sur le forum car j'ai un énorme problème de résolution d'exercices !
Nous avons vu il y a peu les fonction à plusieurs variables, en particulier à 2 variables. En général, quand on maîtrise les fonction à 1 variable, ça se passe bien, la transition est facile. J'ai juste un problème pour primitiver une fonction à 2 variables sur un intervalle non borné fermé. J'ai en fait 2 questions à ce sujet.

1) Intervalle entièrement ouvert

Attention, je demande ici des explications pour une fonction à 1 variable, ce sera plus simple pour commencer
Nous avons toujours fait des exercices avec un intervalle tel que mais jamais un intervalle complètement ouvert tel que . Dans ce deuxième cas, je ne vois pas trop comment vérifier l'intégrabilité comme avec le premier intervalle.
Pour le premier, il me suffit de faire une limite de t qui tend vers l'infini de la valeur absolue de la fonction qu'on intègre entre 0 et t.
Mais dans le deuxième cas, comment faut-il faire pour vérifier l'intégrabilité ?


2) Primitive d'une fonction à 2 variables sur un intervalle non borné fermé: intégrabilité

Quand j'ai ma fonction à 2 variables que je dois primitiver, je ne sais pas du tout comment procéder pour trouver l'intégrabilité ! On l'a vu en classe mais ce n'est pas du tout clair et j'aimerai des explications plus claires à ce sujet. Peut-on utiliser une limite comme au-dessus ? Et si l'intervalle est entièrement ouvert tout comme à ma première question?


Enormes mercis d'avance à tous !
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[God's Breath]

Une fonction de 2 variables n'est pas définie sur un intervalle...

La notion de primitive n'est pas définie pour les fonctions de 2 variables...

Les questions sont donc incompréhensibles.

[docteurdread]

Bonjour,

Je me suis en effet mal exprimé, c'est l'intégrale d'une fonction à 2 variables. Et je souhaite trouver l'intégrabilité, pour les 2 variables, sur leurs intervalles. Je ne sais pas si c'est tout à fait correct

Merci

[God's Breath]

Je suis suis toujours dans le brouillard.
Un petit exemple pour expliquer plus précisément le problème serait le bienvenu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[docteurdread]

Je vais essayer d'être plus clair avec 2 exemples pour chaque question

1) Vérifier l'intégrabilité d'une fonction à 1 variable sur un intervalle ouvert

Prenons par exemple
On souhaite vérifier l'intégrabilité de la fonction sur l'intervalle
Je sais que, pour calculer l'intégrabilité dans un intervalle du type , on utilise la définition tel que
existe et est finie si la fonction est intégrable sur cet intervalle .
Mais je ne vois pas comment appliquer cela avec un intervalle du type .


2) Vérifier l'intégrabilité d'une fonction à 2 variables

Je cherche ici à savoir comment vérifier l'intégrabilité d'une fonction à 2 variables. Voici un exemple se trouvant dans les exercices de mon cours.
Il faut vérifier l'intégrabilité de
On va travailler sur l'ensemble
Comment dois-je procéder? Y a-t-il une différence avec la vérification d'intégrabilité d'une fonction à 1 variable?

Merci d'avance !

[God's Breath]

Voir qui est beaucoup plus clair.

En fait, c'est tout simple.

1) Vérifier l'intégrabilité d'une fonction à 1 variable sur un intervalle ouvert


Lorsqu'on est sur un intervalle ouvert, , on choisit un point intermédiaire, et on étudie deux intégrales, une sur , l'autre sur

Dans ton cas, on scinde , en 1 par exemple (mais tout autre choix conduit au même résultat...) :

a) Intégrabilité sur



d'où l'existence de l'intégrale et sa valeur : .

On aurait pu obtenir la convergence plus rapidement par la comparaison :

b) Intégrabilité sur



donc l'intégrale diverge.

On aurait pu obtenir la divergence plus rapidement par la comparaison : .

c) Conclusion : la fonction n'est pas intégrable sur .


2) Vérifier l'intégrabilité d'une fonction à 2 variables

On traite chaque variable séparément.

a) On étudie l'intégrale en .

On fixe ; la fonction à intégrer est définie par : .

Le problème de l'intégration est vite réglé : .

Donc l'intégrale converge.

a) On étudie l'intégrale en .

Que faire de : ?

Tu calcules explicitement et tu étudies l'intégrale de façon usuelle.

[docteurdread]

J'ai tout compris, un énorme merci à toi !