Bonjour,
Je voulais juste savoir, j'ai lu dans mon cours que l'affirmation "Soit I un intervalle borné ouvert et f : I -> R continue sur I, alors f est intégrable sur I" est fausse, avec pour contre-exemple la fonction f(x)=1/x sur ]0,1[. Cela veut-il dire que quand on parle d'integrabilité sur un domaine donné I ouvert, on inclut la possibilité de calculer l'intégrale avec pour bornes de l'intégrale une des bornes du domaine?
Merci d'avance!
Bonjour,
On distingue habituellement l'intégration sur un intervalle fermé borné et sur un intervalle ouvert (pas nécessairement borné). Dans le premier cas, c'est l'intégrale au sens de Riemann, avec pour résultat principal que les fonctions bornées et monotones, continues ou même continues par morceaux sont intégrables. Dans le deuxième cas lorsque l'intervalle est ouvert, il s'agit d'intégrales généralisées ou sens de Riemann ou d'intégrales de Lebesgue. La continuité de la fonction ne suffit plus car il faut en plus s'assurer de l'existence de la limite lorsque les bornes de l'intégrale tendent vers les bornes de l'intervalle.
Dans le cas particulier de la fonction continue x->1/x, elle est continue sur x>0 donc intégrable sur tout intervalle [a, 1] où a>0 mais pas sur )0, 1] car
Bonne journée
Bonjour!
Ok merci beaucoup, c'est tout de suite plus clair!
Bonne journée!
