Reunion d'ensembles et définition par compréhension.

[invite84fde39f]

Bonjour.

Je suis actuellement en sup, donc en première année, et j'ai donc un bagage mathématique très... restreint, donc je remercie d'avance ceux qui pourront me répondre tout en donnant quelque chose de compréhensible pour quelqu'un de mon niveau.
On a fait cette année un chapitre sur la théorie des ensembles et c'était bien.

Néanmoins plusieurs trucs me chiffonnent...
Tout d'abords au sujet de la définition d'un ensemble par compréhension, on nous à dit qu'on peut donner une "formule" (plutot une proposition) afin de définir un ensemble, par exemple

Néanmoins les limites des possibilités d'une telle définitions n'ont qu'à peine étés effleurées, car je sais par exemple qu'on ne peut définir l'ensemble
. Mais dans le cours, il n'as pas clairement été donné des moyens de savoir quelles propositions (ou quelle forme de proposition plus exactement) permettent de définir un ensemble et les quelles au contraire ne le peuvent?

De même plus loin dans le cours, on définit la réunion d'ensemble de la manière suivante:
"Soit A et B deux sous-ensembles de E, on appelle l'ensemble ".
L'hypothèse qui me semble étrange, c'est que A et B doivent être sous-ensemble d'un ensemble E. Pourquoi cette restriction? En cas, "intuitivement" on peut bien se dire qu'au pire on trouvera toujours un sur-ensemble de A et de B. Néanmoins comment justifier son existence? (j’aurais bien envie de dire que ferait l'affaire, mais justement là je me mord la queue).

Merci d'avance
Cordialement.
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[Médiat]

Bonjour,

Néanmoins les limites des possibilités d'une telle définitions n'ont qu'à peine étés effleurées, car je sais par exemple qu'on ne peut définir l'ensemble
. Mais dans le cours, il n'as pas clairement été donné des moyens de savoir quelles propositions (ou quelle forme de proposition plus exactement) permettent de définir un ensemble et les quelles au contraire ne le peuvent?

Aucune restriction sur les énoncés (bien formés) à une variable libre, dans ZF, la théorie des ensembles la plus usuelle si est un tel énoncé et si est un ensemble alors alors est un ensemble.

Votre deuxième question trouve sa réponse ci-dessus.

[invite84fde39f]

Bonjour, merci pour votre réponse rapide!.

Donc on a alors aucun moyens, étant donné A et B deux ensembles quelconques, de justifier de l’existence de C un ensemble tel que et , ou on ne peut simplement pas définir cet ensemble par compréhension?

[invite51d17075]

Pour ta première question, je dirais qu'une définition générale d'un ensemble serait:

dans ton premier exemple x n'est pas défini.

pour la seconde , je ne comprend pas bien ce qui te gène.
car la proposition elle-même n'a de sens que si x app à un ensemble qui contient A et B.

Edit : pas vu la réponse de Médiat plus haut.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Donc on a alors aucun moyens, étant donné A et B deux ensembles quelconques, de justifier de l’existence de C un ensemble tel que et , ou on ne peut simplement pas définir cet ensemble par compréhension?

Vous pouvez regarder l'axiome de l'union, mais il est sous une forme un peu moins intuitive que la définition "usuelle" de l'union

[invite84fde39f]

Merci pour vos réponses! Ça parait bien plus clair quand on a ces données!
J'en profite pour demander, étant donné que donc il y a un axiome pour définir "proprement" l'union, connaitriez vous un lien/ouvrage où les axiomes "des maths de tout les jours" (ZF? je dois avouer que c'est assez confus dans ma tête à ceux niveau) sont présenté clairement tout en restant dans un cadre abordable pour un élève de première année? Ou alors quel est le "parcours d'apprentissage" à suivre avant de pouvoir les aborder? J'avais déjà cherché fut un temps mais c'était bien loin de mon niveau...

[Médiat]

ZF est le petit nom de la théorie Zermelo-Fraenkel, on trouve plein de chose sur le net et en particulier : http://forums.futura-sciences.com/ma...tml#post263789 (le deuxième)

[invite84fde39f]

Merci beaucoup!