Axiome de la réunion dans la théorie des ensembles

[invite6754323456711]

Bonjour,

La définition de wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_la_r%C3%A9union ne m'apparait pas claire.

L'exemple suivant est-il valide ? En ZF tout élément d'un ensemble est un ensemble (d'où les parenthèses pour décrire les élément de A)

A = {{x1} {x2 x3} {x4}} ===> B = {{{x1} {x2 x3} {x4}}} ?

B ne contient que deux éléments l'ensemble vide et la réunion des éléments de A ?

C'est quoi C et D dans la description en langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel ?

Patrick
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[Médiat]

Bonsoir,

La définition de wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_la_r%C3%A9union ne m'apparait pas claire.

La phrase : "Ainsi, l'axiome affirme réellement qu'étant donné un ensemble A, nous pouvons trouver un ensemble B dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de A" est assez claire pourtant.

L'exemple suivant est-il valide ? En ZF tout élément d'un ensemble est un ensemble (d'où les parenthèses pour décrire les élément de A)

A = {{x1} {x2 x3} {x4}} ===> B = {{{x1} {x2 x3} {x4}}} ?.

L'usage veut que l'on utilise des virgules pour séparer les éléments d'un ensemble :
A = {{x1}, {x2 x3}, {x4}} ==> B = {x1, x2, x3, x4}

C'est quoi C et D dans la description en langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel ?

Ce sont des noms de variables, dans l'exemple précédent, si C = x2 alors D = {x2, x3}

[invite6754323456711]

L'usage veut que l'on utilise des virgules pour séparer les éléments d'un ensemble :
A = {{x1}, {x2 x3}, {x4}} ==> B = {x1, x2, x3, x4}

Merci. Il manque, en ce qui me concerne, d'exemples dans wikipédia.

Ne faut il pas alors écrire B sous la forme B = {{x1},{x2},{x3},{x4}} ?

Ne pourrait on pas écrire l'axiome ainsi :



Patrick

[invite6754323456711]

Ne faut il pas alors écrire B sous la forme B = {{x1},{x2},{x3},{x4}} ?

Pour préciser si A = {{x1}, {{x2}, {{x3},{x4}}}, {x5}} ==> B = {{x1}, {x2}, {{x3}, {x4}},{x5}}
ou si par défaut tout élément est un ensemble on peut écrire sans ambiguïté A = {x1, {x2, {x3,x4}}, x5} ==> B = {x1, x2, {x3, x4}, x5} ?

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Ne faut il pas alors écrire B sous la forme B = {{x1},{x2},{x3},{x4}} ?

Non, les éléments de A sont :
{x1}
{x2, x3}
{x4}

les éléments des éléments de A sont donc : x1, x2, x3 et x4, donc B = {x1, x2, x3, x4}

Ne pourrait on pas écrire l'axiome ainsi :

Je ne vois pas la différence avec la formule de wikipedia (j'ai enlevé quelque virgules et ajouté des parenthèses, c'est tout).

par défaut tout élément est un ensemble on peut écrire sans ambiguïté A = {x1, {x2, {x3,x4}}, x5} ==> B = {x1, x2, {x3, x4}, x5} ?

Ce n'est pas par défaut, tous les "objets" sont des ensembles.
Pour B le résultat est faux, en utilisant une notation plus habituelle pour la réunion :

On ne peut rien dire de plus pour x1 et x5, quant à {x2, {x3,x4}}, c'est un ensemble à deux éléments que l'on va retrouver dans la réunion.
Par contre :
A = {{x1}, {x2, {x3,x4}}, {x5}} ==> B = {x1, x2, {x3, x4}, x5}
Autres exemples
A = {{IN}, {IR}} ==> B = {IN, IR}
A = {IN, IR} ==> B = IR

[invite6754323456711]

A = {IN, IR} ==> B = IR

Pourquoi n'obtient on pas B = . Les élément des élément de A n'est il pas .


Est il vrai qu'une très grande partie des mathématiques a été reconstruite à l'intérieur d'un seul cadre axiomatique, dénommé "théorie des ensembles", dans le sens où chaque concept mathématique (autrefois indépendant des autres) a été ramené à une définition dont tous les constituants logiques proviennent de ce même cadre : elle est considérée comme fondamentale ?

une grande partie des mathématiques se déduit des axiomes suivants : http://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%..._des_ensembles ?

C'est plus que de la syntaxe (forme), c'est une nouvelle sémantique (fond) ?

merci
Patrick

[Médiat]

Pourquoi n'obtient on pas B = . Les élément des élément de A n'est il pas .

Les éléments de A sont IN et IR, sa réunion est donc constituée les éléments de IN auxquels on ajoute ceux de IR, usuellement écrit IN U IR = IR.

Est il vrai qu'une très grande partie des mathématiques a été reconstruite à l'intérieur d'un seul cadre axiomatique, dénommé "théorie des ensembles", dans le sens où chaque concept mathématique (autrefois indépendant des autres) a été ramené à une définition dont tous les constituants logiques proviennent de ce même cadre : elle est considérée comme fondamentale ?

Oui. L'honnêteté veut que je cite la théorie des catégories qui prétend aussi être le fondement des mathématiques (mais c'est une histoire de chapelles qui ne m'intéresse absolument pas, sur le net je n'ai trouvé que des articles partisans (ce que je trouve détestable) sur le sujet). ce qui est intéressant c'est que la théorie des ensembles peut s'exprimer en terme de catégories et la théorie des catégories en terme d'ensembles.

une grande partie des mathématiques se déduit des axiomes suivants : http://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%..._des_ensembles ?

Non, par exemple les axiomes de Peano ne se déduisent pas des axiomes de Zerleo-Fraenkel, mais ZF lui donne un cadre : Peano peut s'écrire en terme d'opérations (ce qui est définissable dans ZF) d'égalité (qui existe dans ZF) et d'appartenance qui existe dans ZF. Et c'est le cas de beaucoup de théories (un groupe est un ensemble, mais on ne peut déduire la théorie des groupes de ZF, etc. etc.)

ZF fournit des briques, pas la maison.

[invite6754323456711]

Les éléments de A sont IN et IR, sa réunion est donc constituée les éléments de IN auxquels on ajoute ceux de IR, usuellement écrit IN U IR = IR.

Pourtant l'axiome de réunion semble dire que l'on réuni tous les éléments des éléments de A (C est éléments de D qui est lui même élément de A). les éléments de A sont IN et IR mais quels sont les éléments des éléments de A ?

IN U IR = IR ===> cela signifie t'il qu'il existe un ordre dans les éléments d'un ensemble ? l'union n'est elle pas symétrique : IR U IN est différent de IN U IR ?

Cela ressemble aux formulations en LISP :

(CDR (CONS 'IN 'IR)) --> (IR)
(CAR (CONS 'IN 'IR)) --> IN

Merci
Patrick

[Médiat]

Pourtant l'axiome de réunion semble dire que l'on réuni tous les éléments des éléments de A (C est éléments de D qui est lui même élément de A). les éléments de A sont IN et IR mais quels sont les éléments des éléments de A ?

Les éléments de IN et les élements de IR.

IN est un ensemble avec un nombre dénombrable d'éléments, {IN} est un singleton.
A = {IN, IR} est une paire, UA = IN U IR =IR est un ensemble avec un nombre non dénombrable d'éléments ( pour être précis)

IN U IR = IR ===> cela signifie t'il qu'il existe un ordre dans les éléments d'un ensemble ? l'union n'est elle pas symétrique : IR U IN est différent de IN U IR ?

Pas du tout ; IN U IR = IR parce que IN est inclus dans IR :
IN U IR = IR U IN = IR

[invite6754323456711]

Pas du tout ; IN U IR = IR parce que IN est inclus dans IR :
IN U IR = IR U IN = IR

Dans l'exemple que tu as choisi IN et IR ont donc une signification particulière (ensemble des entiers naturel pour IN et ensemble des réels pour IR ?). Ce ne sont pas de simple variable qui représentent un élément d'un ensemble tel que A = {x1, x2} ==> ?

La notion d'atome (exemple x1) n'existe pas dans la théorie des ensembles ?

Merci
Patrick

[Médiat]

Dans l'exemple que tu as choisi IN et IR ont donc une signification particulière (ensemble des entiers naturel pour IN et ensemble des réels pour IR ?). Ce ne sont pas de simple variable qui représentent un élément d'un ensemble tel que A = {x1, x2} ==> ?

Oui, bien sur, j'avais bien dit que je prenais un exemple.

La notion d'atome (exemple x1) n'existe pas dans la théorie des ensembles ?

Qu'appelles-tu atome ? Un ensemble qui ne contient aucun élément ? Alors oui, il en existe un : l'ensemble vide.

[invite6754323456711]

Oui, bien sur, j'avais bien dit que je prenais un exemple.

Qu'appelles-tu atome ? Un ensemble qui ne contient aucun élément ? Alors oui, il en existe un : l'ensemble vide.

si A = {1, 2} peut on dire que 1 est un ensemble ? 1 n'est pas inclus dans 2 donc pourquoi ? L'axiome dit

Pourquoi n'avons nous pas :

ou

Merci
Patrick

[Médiat]

si A = {1, 2} peut on dire que 1 est un ensemble ? 1 n'est pas inclus dans 2 donc pourquoi ? L'axiome dit

En théorie des ensembles, oui ! 0, 1, 2 etc. sont des ensembles.

Pour calculer Il faut savoir ce que sont 1 et 2 dans la théorie des ensembles.
Usuellement :



ll suffit d'appliquer la définition et on trouve :

[invite6754323456711]

En théorie des ensembles, oui ! 0, 1, 2 etc. sont des ensembles.

Pour calculer Il faut savoir ce que sont 1 et 2 dans la théorie des ensembles.
Usuellement :



ll suffit d'appliquer la définition et on trouve :

Cela me dépasse. Il va valoir que je creuse un peu plus. Comment peut on construire quelque chose à partir de l'ensemble vide ?

Merci
Patrick

[invite6754323456711]

Usuellement :

Cela signifie t-il 1 élément vide

et cela 2 éléments vide.


Ne pourrait on pas construite le même logique avec n'importe quel entier naturel n ?




merci
Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

Si je comprend bien à partir de rien (ensemble vide) les mathématiques ont créé un objet contenant rien (l'ensemble vide) . Ces deux notions n'ont pas le même sens.

Il est utilisé l'axiome de la paire :



ainsi que l'axiome de l'infini (ensemble autosuccesseur) pour créer l'ensemble des entiers naturel. Ils sont donc créés à partir de rien
ce qui n'est pas rien est donc la notion d'ensemble





Patrick

[invite00970985]

Si je comprend bien à partir de rien (ensemble vide) les mathématiques ont créé un objet contenant rien (l'ensemble vide) .

L'ensemble vide n'est pas "rien". Comme son nom l'indique, c'est un ENSEMBLE, qui ne contient rien, une sorte de "coquille vide". On pourrait le noter {}, par anologie aux ensembles qui contiennent quelquechose : {a,b,c}.

Ces deux notions n'ont pas le même sens.

Ce sont plus des objets que des notions, mais oui, ils sont différents. On pourait écrire : ={{}}. L'ensemble vide est une coquille vide, est une coquille contenant une coquille vide.

[invite6754323456711]

Bonjour,

Oui c'est ce que je dit. Ce qui a de la consistance c'est la notion d'ensemble (coquille). L'élément du coquille vide est le vide. Le vide est-ce un objet ou un concept mathématiques ?
On peut aussi faire l'analogie avec les poupées russes.

Patrick

[invité576543]

ainsi que l'axiome de l'infini (ensemble autosuccesseur) pour créer l'ensemble des entiers naturel.

On n'a pas besoin de l'axiome de l'infini pour définir les entiers, mais on en a besoin pour définir l'ensemble des entiers.

Ils sont donc créés à partir de rien

Non, les entiers sont créés à partir de la notion d'ensemble.

ce qui n'est pas rien est donc la notion d'ensemble

Exactement. Et c'est cette notion qui, une fois axiomatisée proprement, avec des constructeurs, permet de construire des ensembles particuliers. L'axiome le plus fondamental est "il existe au moins un ensemble" (en général omis quand l'axiome de l'infini est inclus, puisque l'axiome de l'infini implique l'autre), à partir de là et des autres axiomes on construit, entre autres, les entiers.

L'axiome "il existe au moins un ensemble" est celui qui empêche de dire qu'on construit à partir de rien.

Cordialement,

[invite6754323456711]

On n'a pas besoin de l'axiome de l'infini pour définir les entiers, mais on en a besoin pour définir l'ensemble des entiers.


Non, les entiers sont créés à partir de la notion d'ensemble.

Mes questions sont juste pour bien comprendre.

Dans l'ensemble des entiers il y a deux notions ensemble et entier. Les entiers forment un ensemble mais pourquoi les entiers serait il un ensemble. Par exemple pourquoi est défini comme un ensemble vide ?

Merci
Patrick

[Médiat]

Les entiers forment un ensemble mais pourquoi les entiers serait il un ensemble.

Pas forcément, dans la théorie ZF_fini dont les axiomes sont les mêmes que ZF (la théorie axiomatique des ensembles) sauf qu'il n'y a pas l'axiome de l'ensemble inifini, on peut fabriquer des modèles où les entiers existent, mais pas l'ensemble des entiers.

Par exemple pourquoi est défini comme un ensemble vide ?

Que veut dire cette question (je ne suis pas sur de comprendre) ? L'ensemble vide (n'ayant aucun élément) existe forcément (autrement dit sont existence est démontrable, c'est un théorème (existence d'un ensemble + axiome de compréhension avec la formule )).

[invite6754323456711]

Que veut dire cette question (je ne suis pas sur de comprendre) ?

C'est toujours délicat à manipuler les notions 0 et infini ...

L'ensemble vide (n'ayant aucun élément) existe forcément (autrement dit sont existence est démontrable, c'est un théorème (existence d'un ensemble + axiome de compréhension avec la formule )).

Pourquoi l'appelle t-on Axiome de l'ensemble vide si on peut le démontrer à partir des axiomes d’extensionnalité et de compréhension ?

De même le schéma d'axiomes de compréhension se déduit du schéma d'axiomes de remplacement (dixit Wikipédia).

Quel sont donc alors les axiomes fondamentaux (qui ne peuvent se déduire d'autre axiome) en théorie des ensembles ?


Patrick

[invité576543]

Pourquoi l'appelle t-on Axiome de l'ensemble vide si on peut le démontrer à partir des axiomes d’extensionnalité et de compréhension ?

On ne peut pas le démontrer à partir des ces axiomes là. Ces axiomes commencent par , on ne peut en déduire quelque chose commençant par .

On peut démontrer l'existence de l'ensemble vide à partir de l'axiome d'existence d'au moins un ensemble et de l'axiome de compréhension. Réciproquement, on peut démontrer l'existence d'au moins un ensemble à partir de l'axiome stipulant l'existence de l'ensemble vide

Autrement dit, à partir des axiomes de ZF moins tout axiome existentiel (et donc dont l'axiome de compréhension), on obtient la même chose (ZF ^fin) soit en ajoutant l'axiome de l'ensemble vide, soit en ajoutant l'axiome d'existence d'au moins un ensemble.

Quel sont donc alors les axiomes fondamentaux (qui ne peuvent se déduire d'autre axiome) en théorie des ensembles ?

Il y a différents jeux d'axiomes donnant exactement le même résultat, ce qui veut dire que, si les jeux A et B donnent la même théorie, tout axiome présent dans le jeu A mais pas dans le jeu B est un théorème pour le jeu B. Une expression n'est pas un axiome ou un théorème dans l'absolu, c'est toujours relatif à un jeu d'axiomes.

Cordialement,

[Médiat]

Autrement dit, à partir des axiomes de ZF moins tout axiome existentiel (et donc dont l'axiome de compréhension)

Bonjour,

Je ne suis pas d'accord : l'axiome de compréhension n'est pas existentiel.
Version simple pour un P donné (sans paramètres) :
Cordialement.

[invite6754323456711]

On ne peut pas le démontrer à partir des ces axiomes là. Ces axiomes commencent par , on ne peut en déduire quelque chose commençant par .

On peut démontrer l'existence de l'ensemble vide à partir de l'axiome d'existence d'au moins un ensemble et de l'axiome de compréhension. Réciproquement, on peut démontrer l'existence d'au moins un ensemble à partir de l'axiome stipulant l'existence de l'ensemble vide

Autrement dit, à partir des axiomes de ZF moins tout axiome existentiel (et donc dont l'axiome de compréhension), on obtient la même chose (ZF ^fin) soit en ajoutant l'axiome de l'ensemble vide, soit en ajoutant l'axiome d'existence d'au moins un ensemble.

Pour démontrer que l'inexistant existe ce n'est pas chose facile on a l'impression de boucler.

L'ensemble vide est essentiel dans la théorie des ensembles ou théorie ZFC, son existence est assurée par l'axiome de l'ensemble vide. Son unicité découle de l'axiome d'extensionnalité.

De plus, on peut démontrer en utilisant le schéma d'axiomes de compréhension, que l'existence d'un ensemble quelconque implique l'axiome de l'ensemble vide, ce qui évite, quand on formalise la théorie des ensembles en logique du premier ordre, de faire appel à un axiome spécifique pour l'existence de l'ensemble vide (voir axiome de l'ensemble vide).

L'axiome de l'ensemble vide est, en mathématiques l'un des axiomes possibles de la théorie des ensembles. Comme son nom l'indique, il permet de poser l'existence d'un ensemble vide. Dans les présentations modernes, il n'est plus mentionné parmi les axiomes des théories des ensembles de Zermelo, ou Zermelo-Fraenkel, car il est conséquence en logique du premier ordre du schéma d'axiomes de compréhension.

L'existence de l'ensemble vide peut être démontrée par compréhension, et donc n'a pas à faire partie des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel, quand celles-ci sont vues comme des théories du premier ordre. En effet, en logique du premier ordre, les domaines d'interprétation des variables d'objets de base, ici des variables d'ensemble, sont non vides. Cela compliquerait beaucoup l'exposé des règles logiques de considérer des domaines vides. C'est ce qui permet l'introduction de nouvelles variables dans le raisonnement : dès que l'on introduit une nouvelle variable, on suppose qu'elle désigne un objet.

Il suffit donc, dans le cas qui nous préoccupe, d'appliquer le schéma d'axiomes de compréhension à un ensemble arbitraire, pour une propriété jamais réalisée.

Dans le langage formel des axiomes de Zermelo-Frankel, l'axiome s énonce : Il existe un ensemble A tel que, pour tout ensemble B, B n'est pas un élément de A, c’est-à-dire qu'il existe un ensemble dont aucun ensemble n'est élément.

L'axiome d'extensionnalité peut être utilisé pour démontrer que cet ensemble est unique. Il est appelé l'ensemble vide.

....

Patrick

[invité576543]

Je ne suis pas d'accord : l'axiome de compréhension n'est pas existentiel.

Juste une mauvaise phraséologie de ma part. Je voulais dire que l'axiome de compréhension était dans "ZF moins tout axiome existentiel".

Cordialement,

[invité576543]

Pour démontrer que l'inexistant existe ce n'est pas chose facile on a l'impression de boucler.

Je ne vois pas pourquoi. L'ensemble vide n'est pas "l'inexistant". C'est un ensemble.

La notion d'ensemble est une notion de boîte. La notion de boîte vide découle de la notion de boîte, où est le problème?

Cordialement,

[invité576543]

Par ailleurs, je ne trouve pas l'article du Wikipédia très satisfaisant.

Il me semble qu'on peut se poser la question de la théorie axiomatisée par les axiomes de ZF moins tout axiome existentiel. Sauf erreur de ma part, elle admet un modèle particulier, le "vrai vide", puisque toute expression commençant par est satisfaite par ce modèle. Et ce modèle n'est pas un modèle de ZFC.

Si cette vision est correcte, un axiome existentiel (de l'ensemble vide ou d'au moins un ensemble) est absolument nécessaire pour avoir ZFfin.

Mais c'est peut-être une manière bizarre/hétérodoxe/erronée (suprimmer les mentions inutiles) de voir les choses.

Cordialement,

Note : Je me demande si ce n'est pas en rapport avec voir 0 comme un cardinal limite. C'est le plus petit cardinal strictement supérieur à ceux qu'on trouve dans le modèle "vrai vide"... (C'est ma manière à moi, distincte de celle de u100fil, de jouer avec la notion de vide.)

[Médiat]

Il me semble qu'on peut se poser la question de la théorie axiomatisée par les axiomes de ZF moins tout axiome existentiel. Sauf erreur de ma part, elle admet un modèle particulier, le "vrai vide", puisque toute expression commençant par est satisfaite par ce modèle. Et ce modèle n'est pas un modèle de ZFC.

Il est d'usage de ne considérer que des modèles non vides des théories (le vide n'étant jamais un modèle bien intéressant) ; mais sur le fond tu as raison (il s'agit d'un usage, pas d'une loi irréfragable).

[Médiat]

Si cette vision est correcte, un axiome existentiel (de l'ensemble vide ou d'au moins un ensemble) est absolument nécessaire pour avoir ZFfin.

Les axiome de ZF_fini sont ceux de ZF sauf l'axiome de l'infini, et avec soit l'axiome de l'existence d'un ensemble soit l'existence de l'ensemble vide.